Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505978
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: 4 синус x минус 2 ко­си­нус 2x минус 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус 2 конец дроби =0.

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)   Вос­поль­зу­ем­ся усло­ви­ем ра­вен­ства дроби нулю: дробь равна нулю тогда и толь­ко тогда, когда ее чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель при этом от­ли­чен от нуля:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка 4 синус x минус 2 ко­си­нус 2x минус 1=0,  новая стро­ка ко­си­нус 2x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус 2 не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка 4 синус x минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2 синус в квад­ра­те x минус 1=0,  новая стро­ка ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус 2 не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка 4 синус x минус 2 плюс 2 синус в квад­ра­те x плюс 2 синус в квад­ра­те x минус 1=0,  новая стро­ка ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 плюс ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус 2 не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка синус x= дробь: чис­ли­тель: минус 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 12 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  новая стро­ка ко­си­нус x не равно дробь: чис­ли­тель: минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 24 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби  конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка синус x= дробь: чис­ли­тель: минус 2\pm 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  новая стро­ка ко­си­нус x не равно дробь: чис­ли­тель: минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та \pm 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .  конец си­сте­мы .

Итак,  синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а урав­не­ние  синус x= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ре­ше­ний не имеет. Кроме того, по­лу­чи­ли, что  ко­си­нус x не равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , т. е. x не равно \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . А это зна­чит, что серия кор­ней  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z , по­лу­ча­е­мых из урав­не­ния  синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , не могут быть кор­ня­ми ис­ход­но­го урав­не­ния. Ис­ко­мы­ми кор­ня­ми будут числа вида  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z .

б)  По­сколь­ку за­дан­ный про­ме­жу­ток охва­ты­ва­ет лишь первую, тре­тью и чет­вер­тую чет­вер­ти еди­нич­ной окруж­но­сти, то за­дан­ное урав­не­ние на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка кор­ней не имеет.

 

Ответ:а)  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) таких кор­ней нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 505972: 505978 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 23
Классификатор алгебры: Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла