Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 506020
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка тан­генс дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 15 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­си­нус x минус 3 конец ар­гу­мен­та =0.

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем тан­генс дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби :

тан­генс дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = тан­генс левая круг­лая скоб­ка 6 Пи плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 15 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 4 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­дан­ное урав­не­ние будет рав­но­силь­ным урав­не­нию левая круг­лая скоб­ка тан­генс x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­си­нус x минус 3 конец ар­гу­мен­та =0.

 

Най­дем огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x не равно 0, новая стро­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­си­нус x минус 3 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x не равно 0, новая стро­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x не равно 0, новая стро­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x не равно 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 18 минус 16 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x не равно 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x не равно 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,k при­над­ле­жит Z конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k,k при­над­ле­жит Z конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k,k при­над­ле­жит Z .

Из по­след­не­го не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что ни при каких зна­че­ни­ях x ра­вен­ство 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 3=0 не­вы­пол­ни­мо. Сле­до­ва­тель­но, левая часть ис­ход­но­го урав­не­ния об­ра­ща­ет­ся в нуль толь­ко при тех зна­че­ни­ях x, при ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие тан­генс x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . В общем слу­чае урав­не­нию тан­генс x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та удо­вле­тво­ря­ют все числа типа дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи t,t при­над­ле­жит Z . Но с уче­том огра­ни­че­ний на x по­лу­чим, что x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи t,t при­над­ле­жит Z .

б)   При t=0 x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Но уже при t=\pm 1 корни урав­не­ния вы­хо­дят за пре­де­лы рас­смат­ри­ва­е­мо­го от­рез­ка. Даль­ней­шие по­ис­ки про­сто из­лиш­ни.

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4 Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 30
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та, Фор­му­лы при­ве­де­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025