Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 506032

а) Решите уравнение  дробь: числитель: 1 плюс 2 синус в квадрате x минус 3 корень из 2 синус x плюс синус 2x, знаменатель: 2 синус x умножить на косинус x минус 1 конец дроби =1.

б) Найдите все корни уравнения на промежутке  левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Найдем ограничения на x:  синус 2x не равно 1 равносильно 2x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .

Преобразуем исходное уравнение:

1 плюс 2 синус в квадрате x минус 3 корень из 2 синус x плюс синус 2x= синус 2x минус 1 равносильно 2 синус в квадрате x минус 3 корень из 2 синус x плюс 2=0 равносильно

 

 равносильно синус x= дробь: числитель: 3 корень из 2\pm корень из 18 минус 16, знаменатель: 4 конец дроби равносильно синус x= дробь: числитель: 3 корень из 2\pm корень из 2, знаменатель: 4 конец дроби .

Уравнение  синус x= корень из 2 решений не имеет:

 синус x= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z или x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .

Выше было отмечено, что числа вида x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z не могут быть решениями исходного уравнения. Следовательно, решениями уравнения являются только числа вида  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .

б) В промежутке  левая квадратная скобка минус Пи ; Пи правая квадратная скобка лишь один раз встретится число вида  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z при n=0. Следовательно, искомым корнем является  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а)  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . б)  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 32.
Методы алгебры: Формулы двойного угла