Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 511876
i

Дано урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;3 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 синус пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x плюс 2 синус x

 

рав­но­силь­но 2 ко­си­нус x плюс 1 минус 2 синус в квад­ра­те x минус 2 синус x=0 рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­си­нус x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x= синус x , новая стро­ка ко­си­нус x плюс синус x= минус 2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z .

Урав­не­ние ко­си­нус x плюс синус x= минус 2 ре­ше­ний не имеет из-за огра­ни­чен­но­сти функ­ций синус и ко­си­нус; cos x и sin x при одном и том же зна­че­нии x не могут при­нять зна­че­ние, рав­ное −1.

б)  Не­труд­но за­ме­тить, что на левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;3 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка най­дет­ся един­ствен­ная точка, при ко­то­рой вы­пол­ня­ет­ся усло­вие ко­си­нус x= синус x. Такой точ­кой будет 2 Пи плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115
Классификатор алгебры: Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но по­ка­за­тель­ных функ­ций
Методы алгебры: Груп­пи­ров­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025