Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 505622

а) Решите уравнение  {{ левая круглая скобка 4 минус {{x} в степени 2 } правая круглая скобка } в степени минус дробь, числитель — {{ косинус в степени 2 }x, знаменатель — косинус x плюс 1 }}= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 4 минус {{x в степени 2 }}}.

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус 1; Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Найдем ограничения на х:

 система выражений  новая строка косинус x не равно минус 1,  новая строка x в степени 2 минус 4 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка косинус x не равно минус 1,  новая строка минус 2 меньше x меньше 2. конец системы . равносильно минус 2 меньше x меньше 2.

Для таких x:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — левая круглая скобка 4 минус x в степени 2 правая круглая скобка в степени { дробь, числитель — косинус в степени { 2 x, знаменатель — косинус x плюс 1 }}= дробь, числитель — 1, знаменатель — левая круглая скобка 4 минус x в степени 2 правая круглая скобка в степени { дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 } равносильно совокупность выражений  новая строка 4 минус x в степени 2 =1,  новая строка дробь, числитель — косинус в степени 2 x, знаменатель — косинус x плюс 1 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . конец совокупности .

Корнями уравнения 4 минус x в степени 2 =1 являются числа  корень из { 3} и  минус корень из { 3}, которые принадлежат интервалу  левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка .

Теперь решим уравнение  дробь, числитель — косинус в степени 2 x, знаменатель — косинус x плюс 1 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 :

2 косинус в степени 2 x минус косинус x минус 1=0 равносильно косинус x= дробь, числитель — 1\pm корень из { 1 плюс 8}, знаменатель — 4 равносильно косинус x= дробь, числитель — 1\pm 3, знаменатель — 4 равносильно

 равносильно совокупность выражений  новая строка косинус x=1,  новая строка косинус x= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно равносильно совокупность выражений  новая строка x=2 Пи n,n принадлежит Z ,  новая строка x=\pm дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . .

С учетом ограничений на x:

Из серии полученных решений 2 Пи n,n,n принадлежит Z , единственное число 0 принадлежит интервалу  левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка . При значениях n, равных \pm 1;\pm 2;... значения x окажутся за границами интервала  левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка .

Из серии решений \pm дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z не найдется ни единого значения переменной на интервале  левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка , так как даже при n=0  дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 больше дробь, числитель — 6,28, знаменатель — 3 больше 2. Аналогично  минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 меньше минус дробь, числитель — 6,28, знаменатель — 3 меньше минус 2. Итак, общими решениями заданного уравнения являются числа: 0;\pm корень из { 3}.

б) Ясно, что  минус 1 меньше 0 меньше Пи , минус 1 меньше корень из { 3} меньше 3,14 меньше Пи , минус корень из { 3} меньше минус 1. Значит, искомыми корнями являются числа: 0 и  корень из { 3}.

 

Ответ: а) 0;\pm корень из { 3}; б) 0; корень из { 3}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Введение замены