Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505622
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)   Най­дем огра­ни­че­ния на х:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x не равно минус 1, новая стро­ка x в квад­ра­те минус 4 мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x не равно минус 1, новая стро­ка минус 2 мень­ше x мень­ше 2. конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус 2 мень­ше x мень­ше 2.

Для таких x:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 4 минус x в квад­ра­те =1, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Кор­ня­ми урав­не­ния 4 минус x в квад­ра­те =1 яв­ля­ют­ся числа ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , ко­то­рые при­над­ле­жат ин­тер­ва­лу левая круг­лая скоб­ка минус 2;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь решим урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби :

2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­си­нус x минус 1=0 рав­но­силь­но ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 8 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1\pm 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x=1, новая стро­ка ко­си­нус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x=2 Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . .

С уче­том огра­ни­че­ний на x:

Из серии по­лу­чен­ных ре­ше­ний 2 Пи n,n,n при­над­ле­жит Z , един­ствен­ное число 0 при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу левая круг­лая скоб­ка минус 2;2 пра­вая круг­лая скоб­ка . При зна­че­ни­ях n, рав­ных \pm 1;\pm 2;... зна­че­ния x ока­жут­ся за гра­ни­ца­ми ин­тер­ва­ла левая круг­лая скоб­ка минус 2;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Из серии ре­ше­ний \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z не най­дет­ся ни еди­но­го зна­че­ния пе­ре­мен­ной на ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка минус 2;2 пра­вая круг­лая скоб­ка , так как даже при n=0 дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 6,28, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше 2. Ана­ло­гич­но минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 6,28, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше минус 2. Итак, об­щи­ми ре­ше­ни­я­ми за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа: 0;\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

б)   Ясно, что минус 1 мень­ше 0 мень­ше Пи , минус 1 мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше 3,14 мень­ше Пи , минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше минус 1. Зна­чит, ис­ко­мы­ми кор­ня­ми яв­ля­ют­ся числа: 0 и ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: а) 0;\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; б) 0; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 46
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025