Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505748
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 3x умно­жить на ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та = синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Най­дем огра­ни­че­ния на x:

синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 2 Пи n мень­ше или равно x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно Пи плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z .

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ное урав­не­ние:

синус 3x умно­жить на ко­си­нус x= синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус 4x плюс синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но синус 4x плюс синус 2x минус 1 минус синус 2x=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но синус 4x=1 рав­но­силь­но 4x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z .

Най­дем пе­ре­се­че­ние по­лу­чен­ных зна­че­ний х с най­ден­ны­ми огра­ни­че­ни­я­ми на x. Ис­ко­мы­ми зна­че­ни­я­ми пе­ре­мен­ной ока­жут­ся числа вида: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z и дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z .

б)  Вы­бор­ка кор­ней.

За­ме­тим, что за­дан­но­му про­ме­жут­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при­над­ле­жат лишь два корня: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 66
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций, Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та, Фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни, Фор­му­лы при­ве­де­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025