Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505882
i

Дано f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2t в квад­ра­те минус t левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Левая часть за­дан­но­го урав­не­ния пред­став­ля­ет собой слож­ную функ­цию. Про­ме­жу­точ­ным ар­гу­мен­том слу­жит функ­ция g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби . Ясно, что об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка будут зна­че­ния x, при ко­то­рых опре­делён  тан­генс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Он опре­де­лен при всех зна­че­ни­ях  дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , т. е. при x не равно Пи плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . Таким об­ра­зом, огра­ни­че­ния на ис­ко­мые зна­че­ния x: x не равно Пи плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z .

Не­труд­но до­ка­зать, что  дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = ко­си­нус x. Дей­стви­тель­но, при  дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z имеем:

 ко­си­нус x= ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби .

Сле­до­ва­тель­но, мы впра­ве за­ме­нить вы­ра­же­ние  дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби вы­ра­же­ни­ем  ко­си­нус x. А усло­вие f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2t в квад­ра­те минус t левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ука­зы­ва­ет на спо­соб по­лу­че­ния зна­че­ний функ­ций f, зная зна­че­ния  ко­си­нус x. Го­во­ря по-дру­го­му, нам пред­сто­ит ре­шить урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби от­но­си­тель­но x. Решим его:

 дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0.

По тео­ре­ме Виета по­лу­чим:  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби :

 ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z ; ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z .

б)  x_1=2 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; x_2=2 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; x_3=2 Пи плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;x_4=2 Пи плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

 

Ответ: а) \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z ; \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . б)  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 7
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та