Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x умно­жить на ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: тан­генс 2x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =0.

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Решим урав­не­ние:

 дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x умно­жить на ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: тан­генс 2x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0  новая стро­ка тан­генс 2x не равно минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та  конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x= минус ко­си­нус x, конец си­сте­мы .  новая стро­ка 2x не равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z  новая стро­ка ко­си­нус 2x не равно 0  конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z ,  тан­генс x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,  конец си­сте­мы .  новая стро­ка x не равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z  новая стро­ка ко­си­нус 2x не равно 0  конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z ,  x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z ,  конец си­сте­мы .  новая стро­ка x не равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z  новая стро­ка ко­си­нус 2x не равно 0  конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z .

 

б)  Вы­бор­ка кор­ней. За­ме­тим, что  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Решим это не­ра­вен­ство от­но­си­тель­но целых n:

 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 2 плюс 4n мень­ше или равно 3 рав­но­силь­но 4n мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но n мень­ше или равно 0.

Те­перь вы­чис­лим зна­че­ния x при не­ко­то­рых n мень­ше или равно 0.

 

nЗна­че­ние xПри­ме­ча­ние
0 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 0 боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби
−1 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус Пи = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3,15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 6,3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби
−2 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби  минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 3,14, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 9,42, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 18,84, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби
Даль­ней­шие по­ис­ки зна­че­ний x не имеют смыс­ла

 

 

 

Ответ: а)  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 72
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций