Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 505784

а) Решите уравнение  дробь: числитель: косинус в квадрате x плюс корень из 3 синус x умножить на косинус x, знаменатель: тангенс 2x плюс корень из 3 конец дроби =0.

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Решим уравнение:

 дробь: числитель: косинус в квадрате x плюс корень из 3 синус x умножить на косинус x, знаменатель: тангенс 2x плюс корень из 3 конец дроби =0 равносильно система выражений  новая строка косинус x левая круглая скобка косинус x плюс корень из 3 синус x правая круглая скобка =0  новая строка тангенс 2x не равно минус корень из 3  конец системы . равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений косинус x=0, корень из 3 синус x= минус косинус x, конец системы .  новая строка 2x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z  новая строка косинус 2x не равно 0  конец совокупности . равносильно

 

 равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ,  тангенс x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби ,  конец системы .  новая строка x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z  новая строка косинус 2x не равно 0  конец совокупности . равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ,  x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ,  конец системы .  новая строка x не равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z  новая строка косинус 2x не равно 0  конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .

 

б) Выборка корней. Заметим, что  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Решим это неравенство относительно целых n:

 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2 плюс 4n меньше или равно 3 равносильно 4n меньше или равно 1 равносильно n меньше или равно 0.

Теперь вычислим значения x при некоторых n меньше или равно 0.

 

nЗначение xПримечание
0 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше 0 больше минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби
−1 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус Пи = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше минус дробь: числитель: 3,15, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 6,3, знаменатель: 4 конец дроби больше минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби
−2 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби  минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 3 умножить на 3,14, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 9,42, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 18,84, знаменатель: 4 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби
Дальнейшие поиски значений x не имеют смысла

 

 

 

Ответ: а)  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . б) \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 72.