Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505634
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние: 2 ко­си­нус 2x минус 1= левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на тан­генс x.

б)Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  Огра­ни­че­ния на x: ко­си­нус x не равно 0 рав­но­силь­но x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . Для таких зна­че­ний x будем иметь:

2 ко­си­нус 2x минус 1= левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = синус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус x умно­жить на ко­си­нус 2x минус 2 синус в квад­ра­те x умно­жить на ко­си­нус x= синус x умно­жить на ко­си­нус 2x плюс 2 синус x умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус x умно­жить на ко­си­нус 2x минус 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x умно­жить на синус x= синус x умно­жить на ко­си­нус 2x плюс 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x умно­жить на ко­си­нус x рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус x умно­жить на ко­си­нус 2x минус синус 2x умно­жить на синус x= синус x умно­жить на ко­си­нус 2x плюс синус 2x умно­жить на ко­си­нус x рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка x плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус 3x= синус 3x рав­но­силь­но 3x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z .

б)  Вы­бор­ку кор­ней сде­ла­ем с по­мо­щью пе­ре­бо­ра раз­лич­ных зна­че­ний n при­над­ле­жит Z .

При n=0 x_1= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; при n=1 x_2= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; при n=2x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . При n= минус 1 x_3= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; при n= минус 2 x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней не имеют смыс­ла.

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z . б) минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

За­ме­ча­ние.

На­хож­де­ние кор­ней за­дан­но­го урав­не­ния можно про­ве­сти и так:

2 ко­си­нус 2x минус 1= левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на тан­генс x рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 минус левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус 2x плюс 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка минус 4 синус в квад­ра­те x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус x минус левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус x=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус x минус 4 синус в квад­ра­те x умно­жить на ко­си­нус x минус 4 синус x умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус x=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 синус x умно­жить на ко­си­нус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус 4 синус x умно­жить на ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка синус x= минус ко­си­нус x, новая стро­ка синус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка 2x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

По­лу­чен­ные серии кор­ней можно объ­еди­нить в одну серию: x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 47
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Груп­пи­ров­ка, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов, Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025