Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505876
i

Дано урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x конец дроби .

а)   Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Огра­ни­че­ния на x:  ко­си­нус x не равно 0.

По­сколь­ку  ко­си­нус x не равно 0, то за­дан­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию 2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x=0, ко­то­рое можно пе­ре­пи­сать так:  ко­си­нус в квад­ра­те x минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2=0. Со­глас­но тео­ре­ме Виета, по­лу­чим:  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  ко­си­нус x=2.

По­след­нее ра­вен­ство смыс­ла не имеет. Зна­чит, ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z .

б)  Отбор кор­ней. Из серии кор­ней  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z :

За­ме­тим, что  минус 1 мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 3, но при n= минус 1  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус 2 Пи мень­ше минус 1, так как  минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше минус 1; при n=1  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи боль­ше 3, так как  дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби боль­ше 3 рав­но­силь­но 11 Пи боль­ше 18.

Также за­ме­тим, что  минус 1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 3, но при n= минус 1  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби минус 2 Пи мень­ше минус 1, так как  минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше минус 1; при n=1  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби боль­ше 3. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мы­ми кор­ня­ми яв­ля­ют­ся лишь числа:  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . б)  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

За­ме­ча­ние.

Отбор кор­ней можно про­из­ве­сти и с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 6
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций