Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 506026

а) Решите уравнение  тангенс левая круглая скобка x плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка плюс 1=2 левая круглая скобка корень из { 2} плюс 1 правая круглая скобка \ctg x.

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 ; дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 4 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Найдем ограничения на x:

 система выражений  новая строка косинус левая круглая скобка x плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка не равно 0  новая строка синус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 не равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z  новая строка x не равно Пи m,m принадлежит Z конец системы . равносильно система выражений  новая строка x не равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи n,n принадлежит Z  новая строка x не равно Пи m,m принадлежит Z конец системы . .

Преобразуем левую часть заданного уравнения, применяя формулу тангенса суммы двух аргументов:

 тангенс левая круглая скобка x плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка плюс 1= дробь, числитель — тангенс x плюс тангенс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 , знаменатель — { 1 минус тангенс x умножить на тангенс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 } плюс 1= дробь, числитель — тангенс x плюс 1, знаменатель — 1 минус тангенс x плюс 1= дробь, числитель — тангенс x плюс 1 плюс 1 минус тангенс x, знаменатель — 1 минус тангенс x = дробь, числитель — 2, знаменатель — 1 минус тангенс x .

С учетом полученного результата исходное уравнение можно будет переписать так:  дробь, числитель — 1, знаменатель — 1 минус тангенс x = дробь, числитель — корень из { 2} плюс 1, знаменатель — тангенс x . Теперь решим его:

 тангенс x= корень из { 2} минус корень из { 2} умножить на тангенс x плюс 1 минус тангенс x равносильно 2 тангенс x плюс корень из { 2} умножить на тангенс x=1 плюс корень из { 2} равносильно

 

 равносильно (2 плюс корень из { 2}) умножить на тангенс x=1 плюс корень из { 2} равносильно тангенс x= дробь, числитель — 1 плюс корень из { 2}, знаменатель — 2 плюс корень из { 2 } равносильно тангенс x= дробь, числитель — (1 плюс корень из { 2}) умножить на (2 минус корень из { 2}), знаменатель — (2 плюс корень из { 2 ) умножить на (2 минус корень из { 2})} равносильно

 

 равносильно тангенс x= дробь, числитель — 2 плюс 2 корень из { 2} минус корень из { 2} минус 2, знаменатель — 4 минус 2 равносильно тангенс x= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 равносильно x=\arctg дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z .

Однако, при применении в левой части исходного уравнения формулы тангенса суммы могла быть потеряна серия корней вида  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z . Проверим. При x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z имеем:

 тангенс левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка плюс 1=2 левая круглая скобка корень из { 2} плюс 1 правая круглая скобка умножить на \ctg дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 равносильно тангенс дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 плюс 1=2( корень из { 2} плюс 1) умножить на 0 равносильно минус 1 плюс 1=0 равносильно 0=0.

Оказалось, что числа вида  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z также являются корнями исходного уравнения.

б) Из серии корней  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z получим: при n=0 {{x}_{1}}= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 , при n=1 {{x}_{2}}= дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 .

Из серии корней \arctg дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z : поскольку  дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 меньше 1, то \arctg дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 меньше дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . Искомый корень из данной серии будет единственным: {{x}_{3}}= Пи плюс \arctg дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 .

 

Замечание.

Напомним, что формула  тангенс (\alpha плюс \beta )= дробь, числитель — тангенс \alpha плюс тангенс \beta , знаменатель — 1 минус тангенс \alpha умножить на тангенс \beta верна только для \alpha не равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z , \beta не равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи k,k принадлежит Z , \alpha плюс \beta не равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи m,m принадлежит Z . Аналогично формула  тангенс (\alpha минус \beta )= дробь, числитель — тангенс \alpha минус тангенс \beta , знаменатель — 1 плюс тангенс \alpha умножить на тангенс \beta верна только для \alpha не равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z , \beta не равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи k,k принадлежит Z , \alpha минус \beta не равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи m,m принадлежит Z .

 

Ответ: а)  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z , \arctg дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z ; б)  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; Пи плюс \arctg дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 ;  дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 31.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов