Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 508107
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 синус в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби =3;

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

2 синус в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби =3 рав­но­силь­но 2 минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби минус 3=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби плюс 1=0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: минус 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 8 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: минус 1\pm 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус в квад­ра­те x= минус 1 , новая стро­ка ко­си­нус в квад­ра­те x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти .

рав­но­силь­но ко­си­нус x=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z.

Урав­не­ние ко­си­нус в квад­ра­те x= минус 1 дей­стви­тель­ных кор­ней не имеет.

б)  Вы­бор­ку кор­ней сде­ла­ем с ис­поль­зо­ва­ни­ем еди­нич­ной окруж­но­сти.

x_1= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; x_2= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;x_3= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;x_4= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а) \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z. б) минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

За­ме­ча­ния:

1.  Здесь умно­же­ние обеих ча­стей урав­не­ния 2 синус в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби =3 на ко­си­нус в квад­ра­те x к по­яв­ле­нию по­сто­рон­них ре­ше­ний не при­во­дит.

2.  За­дан­ное урав­не­ние можно ре­шить и так:

2 синус в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби =3 рав­но­силь­но 1 минус ко­си­нус 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус 2x конец дроби минус 3=0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус 3 минус 3 ко­си­нус 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус 2x конец дроби =0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те 2x плюс 3 ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус 2x конец дроби =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус 2x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 , новая стро­ка ко­си­нус 2x не равно минус 1 конец со­во­куп­но­сти . \Leftriaghtarrow

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус 2x=0 , новая стро­ка ко­си­нус 2x= минус 3 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n,\n при­над­ле­жит Z.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 505694: 508095 508107 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Урав­не­ния выс­ших сте­пе­ней, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций, Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, До­мно­же­ние на сумму/раз­ность вы­ра­же­ний
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025