Дано урав­не­ние

А)  Ре­ши­те урав­не­ние.

Б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Шар ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния АВС пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC в точке В и ее бо­ко­во­го ребра SA.

а)  До­ка­жи­те, что центр шара лежит в плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ной ребру AC и про­хо­дя­щей через его се­ре­ди­ну.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус шара, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 3, а бо­ко­вое ребро равно 4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На диа­мет­ре АВ окруж­но­сти ω вы­бра­на точка С. На от­рез­ках АС и ВС как на диа­мет­рах по­стро­е­ны окруж­но­сти ω₁ и ω₂ со­от­вет­ствен­но. Пря­мая  l пе­ре­се­ка­ет окруж­ность  ω в точ­ках А и D, окруж­ность  ω₁  — в точ­ках А и Е, а окруж­ность  ω₂  — в точ­ках М и N.

а)  До­ка­жи­те, что MD  =  NE.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус круга, ка­са­ю­ще­го­ся окруж­но­стей ω, ω₁ и ω₂, если из­вест­но, что АС  =  10, ВС  =  6.

Две бри­га­ды зем­ле­ко­пов вы­ры­ли по оди­на­ко­во­му кот­ло­ва­ну. Вто­рая бри­га­да ра­бо­та­ла на пол­ча­са боль­ше пер­вой. Если бы в пер­вой бри­га­де было на 5 че­ло­век боль­ше, то она могла бы за­кон­чить ра­бо­ту на 2 часа рань­ше. Опре­де­ли­те число зем­ле­ко­пов в каж­дой бри­га­де, если из­вест­но, что про­из­во­ди­тель­ность у зем­ле­ко­пов оди­на­ко­ва.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Петя за­ду­мал на­ту­раль­ное число, боль­шее 100. Вера на­зы­ва­ет на­ту­раль­ное число N, боль­шее 1. Если число Пети де­лит­ся на N, то Вера вы­иг­ра­ла, иначе Петя вы­чи­та­ет из сво­е­го числа число N, и игра про­дол­жа­ет­ся. На­зы­вать ранее на­зван­ные числа Вера уже не может. Когда число Пети ста­нет от­ри­ца­тель­ным, Вера про­иг­ры­ва­ет. Есть ли у Веры вы­иг­рыш­ная стра­те­гия?