Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505864
i

Дано урав­не­ние ко­си­нус в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус синус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0;3 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  

ко­си­нус в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус синус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: \left| ко­си­нус x |, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби \left| ко­си­нус x | плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =0 рав­но­силь­но | ко­си­нус x| в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \left| ко­си­нус x | плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =0.

По тео­ре­ме Виета по­лу­чим: \left| ко­си­нус x |=1, \left| ко­си­нус x |= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . От­сю­да: x= Пи n,n при­над­ле­жит Z ; x=\pm арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z .

б)  Ясно, что для серии кор­ней x= Пи n,n при­над­ле­жит Z n=0;1;2;3, т. е. x_1=0, x_2= Пи , x_3=2 Пи , x_4=3 Пи . Не­труд­но также по­нять, что для серии кор­ней вида x= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z n=0;1;2.

Тогда по­лу­чим: x_5= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x_6= Пи плюс арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x_7=2 Пи плюс арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Для серии кор­ней вида

x= минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z n=1;2;3.

Зна­чит,

x_8= Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x_9=2 Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x_10=3 Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: а) Пи n,n при­над­ле­жит Z ; \pm арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) 0; Пи ; 2 Пи ; 3 Пи ; арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; Пи плюс арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; 2 Пи плюс арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; 2 Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; 3 Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

За­ме­ча­ние.

Отбор ис­ко­мых кор­ней в части б) с по­мо­щью двой­ных не­ра­венств в дан­ном слу­чае за­труд­ни­те­лен.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Мо­дуль числа, мо­дуль вы­ра­же­ния, Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025