Найдите все значения a, при каждом из которых множество точек (x; y), удовлетворяющих условию
будут иметь три общие точки с кривой, заданной уравнением
Решение. Если какая-то точка 
подходит в систему и в уравнение кривой, то и точка 
тоже подходит. Поэтому для получения нечетного числа общих точек требуется, чтобы абсцисса одной из общих точек была равна нулю. Тогда это либо 
либо 
Случай 1. Это точка 
Тогда из уравнения кривой получим 
и само уравнение примет вид 
Ясно, что при 
других точек пересечения нет. Если же 
то получаем 
имеющее корни 
Итого три точки пересечения.
Случай 2. Это точка Тогда из уравнения кривой получим 
и само уравнение примет вид 
Ясно, что при подходят 
и это еще две точки пересечения.
Если же то получаем 
откуда 
Однако для них получаются те же точки пересечения, которые мы уже нашли.
Ответ: 
Примечание. Если решать задачу графически, то система задает равносторонний треугольник со стороной 4, а кривая представляет собой окружность с центром в центре этого треугольника и радиусом 
Устраивающие нас две ситуации соответствуют случаям вписанной и описанной окружности треугольника.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
за b. Тогда первое уравнение дает 
а второе тогда 
есть корни, то они, очевидно, положительны, поэтому каждый из них дает два различных значения x и с ними два решения исходной системы. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы это уравнение имело единственный корень, то есть чтобы 
получим 
полученное равенство также верно, поскольку в левой и правой частях нули. Итак, 
и годится также точка 
поэтому решений не два, а больше.
и 
имеет единственное решение y на отрезке 
имеет единственное решение y на отрезке 
на указанном отрезке.
заметим, что 
— концы отрезка и они же — точки, где не определена производная.
Очевидно, каждому y соответствует ровно одно t, и каждому неотрицательному t соответствует ровно одно значение y, а именно 
Поэтому нас будет интересовать количество решений системы 
принимает по два раза значения на промежутке 
один раз принимает значение 1 и не принимает других неотрицательных значений.
для решений этой системы (каждому из них мы потом сопоставим два различных значения x. Иными словами, уравнение 
имеет два корня на 
Его корни — 
и 
они оба попадают на нужный промежуток при 
При 
эти корни равны. Таким образом, получаем ответ.
является решением системы, то и пара 
тоже является решением, поскольку 
Поэтому все решения системы кроме тех, в которых 
то из первого уравнения 
то из первого уравнения 
и решение 
или 
и решение (0;0).
поэтому первая задача сводится к 
Левая часть не меньше двух (как сумма двух взаимно обратных чисел), правая — не больше двух, причем равенства возможны только при 
Итак, здесь тоже единственное решение.
и преобразуем его
и 
из второго условия следует, что 
поэтому первый множитель не оказывает влияния на знак.
принимает все положительные значение из промежутка 
выражение 
принимает все значения из промежутка 
Можно обозначить 
и получить в результате такую систему
а потом и x (поскольку по третьему условию такое x подобрать удастся). Итак, нам нужно, чтобы эта система не имела решений.
третье неравенство следует из второго, при 
— второе следует из третьего. Так что достаточно ограничиться одним из них.
Заметим, что 
принимает все значения не меньшие 
Поэтому если 
то решений не будет, а если 
— то будут. Итак, 
Заметим, что 
то решений не будет, а если 
— то будут. Итак, 
Тогда третье неравенство, очевидно, выполняться не может.
тоже. Так что почти все решения системы разбиваются на пары. Поэтому для получения нечетного количества решений нужно, чтобы в одном из решений было 
Тогда первое уравнение сводится к 
откуда 
или 
Тогда либо 
либо 
то есть 
не определен.
Выражая y, получим 
или 
или 
при этом 
или 
(что невозможно), при этом 
есть ровно три решения 
Нашли одно подходящее решение 
при этом 
при этом 
имеет два корня, один из которых меньше 9. Это дает еще 2 решения.
есть ровно три решения.
есть ровно одно решение 
имеет ровно один корень."
где 
Найдем значения а, удовлетворяющие неравенству 
Очевидно, таковыми будут элементы множества 
отрицателен.
с множеством 
общих элементов не имеет. 
неотрицателен, но оба корня 
Это — первая часть решения исходной системы.
но оба корня 
строго меньше 3. Необходимое и достаточное условия: 
Решим систему неравенств: 
и 0. 
и с радиусом 
и с радиусом 
относительно а. Найденные значения а и будут искомыми.
Тогда 
Тогда 
Тогда 
и радиусом 
и 
второе неравенство системы примет вид: 
кругу с центром в точке 
и с радиусом 
не принадлежит.
и с радиусом, равным 
и 
первое неравенство системы имеет вид: 
однако, полученное неравенство также невозможно. Значит, точка 
кругу с центром в точке 
также не принадлежит.
и 3.
и 
соответственно) будут отрицательными. 
и 
). Но 
Ясно, что равенство 
ни при каких а не выполнимо. А это значит, что при 
и 
система имеет не менее трех различных корней.
относительно х.
Тогда должно выполняться условие: 
(Сумма рационального числа и иррационального числа не может равняться рациональному числу). А это значит, что в этих случаях решения уравнения (1) совпасть хотя бы с одним корнем уравнения (2) при 
не может.
При совпадении такого корня хотя бы с одним из корней уравнения (1) должно выполняться условие:
(равенство невыполнимо из-за положительности левой части и отрицательности правой).
Однако, 
тогда как 
относительно х, подставляя заданное значение у. 
на множестве 
получим: 
каждому значению переменной х будет соответствовать вполне определенное значение переменной у. 
надобности нет, поскольку выполнение условия 
а = 3,25 система будет иметь одно решение, а при 3 < a < 3,25 — два решения. Однако такой детализации задача не требует. Такая детализация может считаться даже избыточной.
и 
равна 5. Такими точками будут служить все точки отрезка с концами в точках А и В, поскольку 
и 
ровно в двух точках. 
должно выполняться условие 
т. е. 
Тогда оно (первое уравнение) примет вид:
Следовательно, 
т. е. 
или 
и при 
Рассмотрим его (первое уравнение) на промежутках: 
и 
Тогда 
то 
Но логарифм нуля не существует, следовательно, при 
система решений не имеет.
Тогда получим, что второе уравнение системы имеет ровно одно решение при значениях параметра а, принадлежащих множествам 
и 
и радиусом 
симметричных относительно оси Оу. 
другой — уравнением 
значит, при 
если 
то 
Поскольку мы ищем наибольшее значение параметра а, ограничимся лишь рассмотрением случая
имеет ровно одно решение.
Подставив это значение в первое условие, получим:
следовательно, 
получим: 
или 
Нетрудно заметить, что в соответствии с (**) должны выполняться условия:
т. е. 
имеет ровно одно решение, равное 
а при значениях 
— еще одно решение, равное 
Однако, так как 
то искомыми значениями параметра а будут только элементы множества.
Очевидно, 
причем если 
то x определится однозначно 
а если 
то существует два различных значения x. Аналогичное утверждение верно и про υ, и y. 
оно даст 4 решения в терминах x, y. 
Получаются решения 
и 
а других не получается:
решения исходной системы, что нас вполне устраивает.
решением будет также пара 
что потенциально дает уже 8 решений. Значит, некоторые из них должны совпадать. Ясно, что все 4 решения, полученные из одной пары, различны. Поэтому либо две четверки решений полностью совпадают, либо это просто одна и та же пара чисел, то еcть 
и оно подходит:
то, очевидно, четверки решений не могут полностью совпадать хотя бы потому, что y в каждой четверке решений принимает два противоположных значения, а x — два значения, сумма которых равна двум, поэтому иксы из одной четверки не смогут оказаться игреками из другой. Если же мы знаем про пару чисел, кто из них x, а кто y, то пара 
восстанавливается однозначно. Итак, в этой ситуации мы будем иметь больше четырех решений, что нас не устроит.
Подставим это в первое неравенство.
По методу интервалов получаем ответ 
(при этом: 
т.е 
). Тогда второе уравнение принимает вид: 
Преобразуя его, получим:
В нашем случае, когда 
Необходимым и достаточным условием выполнения нашего требования является истинность неравенства 
(здесь a — старший коэффициент квадратного трехчлена, который заведомо равен 1). 
имеем: 
(нарушается единственность решения).
, (см. рис.) 
пересечет окружность с центром С в двух точках. 
откуда 
откуда 
делит координатную плоскость на две области (полуплоскости). 
задается та полуплоскость, которая не содержит точку (0; 0), поскольку неравенство 
неверно. Эту полуплоскость обозначим Q.
т. е. граница полуплоскости Q, не включается в множество точек плоскости, задаваемых первом уравнением исходной системы.
будет иметь единственную общую точку с ω
имеет единственную общую точку с ω. При этом уравнение 
будет иметь ровно одно решение, что будет иметь место, если дискриминант (четверть дискриминанта) уравнения при 
то ее координаты обязаны удовлетворить уравнению этой прямой. Значит,
исходная система несовместна. 
прямая 
прямая 
система имеет два решения, при 
система имеет одно решение, при 
система не имеет решений.
имеет ровно одно решение.
(*) 
Докажем это.
и 
причем 
Функция 
меняет знак только в точках 
Но отрезку [0; 4] принадлежит только точка
которая является внутренней точкой этого отрезка, следовательно, на концах отрезка знаки функции 
при любом значении 
так как 
А это значит, что ни при каком значении а не может быть выполнено равенство 
свидетельствует о существовании двух различных корней у уравнения (*). Причем лишь один из них обязательно лежит на интервале (0; 4). Если это было бы не так, то значения функций в точках 0 и 4 имели бы одинаковый знак. Кроме того, второй корень не может совпадать с 4 (совпадение с 0, как показано выше, вообще невозможно), так как в противном случае было бы верным равенство 
то 
искомым не является. 
то 
рассматриваемое уравнение на [0; 4] имеет ровно один корень, значит, 
Система будет иметь непустое решение, если найдется хотя бы одна общая точка этой окружности и части плоскости, отсекаемой от нее треугольником ABC. 
и вектора 
обозначив координаты точки D какими-либо буквами.
Это — парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола делит плоскость xOy на две области. Неравенству 
согласно условию задачи обязана удовлетворить та из них, которая содержит отрезок AB. 
и 
т. е.
делит плоскость xOy на две полуплоскости. По условию задачи отрезок AB обязан лежать в одной из них. Интересующей нас полуплоскостью будет та, которая содержит как точку A(−2; 0), так и точку B(−1; 0). Отсюда вывод: координаты этих точек обязаны удовлетворять неравенству 
при этом 
Изобразим множество точек с подходящими координатами на координатной плоскости. Получим горизонтальный луч с началом в точке 
и дугу окружности 
при 
дуга пересекает луч в точке 
откуда ясно, что оно задает прямую с угловым коэффициентом a и проходящую через точку 
эта прямая не пересекает множество, задаваемое первым уравнением. Будем теперь уменьшать a, при этом прямая будет поворачиваться вокруг точки 
касается окружности и параллельна лучу. Одно решение.
прямая пересекает дугу в двух точках и луч в одной. Три решения.
прямая пересекает дугу в одной точке и луч в одной. Два решения.
прямая проходит через точку пересечения дуги и луча. Одно решение.
прямая пересекает дугу в одной точке и луч в одной. Два решения.
прямая пересекает дугу в одной точке. Одно решение.
нет решений
должно быть равно двум, откуда 
Корни этого уравнения 
и 
дающие оба положения касательной, но при 
второй множитель можно преобразовать как 
поэтому для него соответствующее множество точек — окружность с центром в 
и радиусом 
Эти две окружности пересекаются в точках 
и 
Эта прямая содержит центры обеих окружностей.
и проходящую через точку 
а маленькую — при 
(прямая пересекает большую окружность, но не меньшую).
(прямая пересекает меньшую окружность, но не большую).
(прямая пересекает обе окружности в совпадающей точке 
или при 
Она же будет иметь ровно два решения при
система (1) решений не будет иметь. Теперь рассмотрим систему (2). 
потребуется выполнение равенства 
Однако оно не выполнимо, так как 
: 
: 
или 
системы (1) и (2), следовательно, и исходная система имеют ровно два решения: (3; 0) и (1; –2). Обобщим наши исследования и для большей наглядности данные занесем в таблицу: 
имеет единственное решение.
Это равенство выполнимо только при одновременном выполнении двух условий: x = 1 и y = 0. Но при этом неравенство y ≥ |x| не выполняется.
не удовлетворяет условию задачи.
: 
: 
до точек 
и 
равна 
Но и расстояние между точками 
Значит, 
причем 
То есть 
или 
причем 
поэтому 
и 
имеют вместе ровно два корня на отрезке 
Тогда 
и первое уравнение имеет корень 
(не лежит на нужном промежутке), а второе — корень 
Оно не имеет корней при 
имеет один корень при 
имеет два корня при 
имеет один корень (второй не попадает в нужный промежуток) при 
и не имеет подходящих корней при 
Оно не имеет корней при 
имеет один корень при 
имеет два корня при 
имеет один корень (второй не попадает в нужный промежуток) при 
и не имеет подходящих корней при 
или 
и 
ни при каких значениях а двух одинаковых корней не имеет, тогда как найдется значение а, при котором уравнение 
имеет два одинаковых корня при 
т. е. при 
то система (*) несовместна, так как равенство 
ни при каких значениях x не выполнимо. При том же значении а система (**) будет иметь ровно одно решение (то есть два совпадающих решения): 
относится к числу искомых. 
имеем: 
то 
Если же 
то 
система (*): 
Таким образом, при 
система (*): 
не подходит. Также не подойдет 
Докажем последнее неравенство. 
относится к числу искомых значений параметра.
нас интересовать не будут.
8 и 
Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена 
имеющего два различных действительных корня, был больше числа 2, а другой — меньше числа 2, необходимо и достаточно выполнение неравенства 
где a — старший коэффициент квадратного трехчлена.
парабола коснется прямой 
(или прямой 
так как для 
Такая ситуация будет в третьей и четвертой четвертях. Кроме того, парабола пересечет ромб еще в 2 точках (первая и вторая четверти), на рис. это — график функции f(x).
График первого уравнения — пара парабол, симметричных относительно оси абсцисс. График второго уравнения — прямая, проходящая через точку (10; 4). У этих графиков три общих точки, если
или 
имеет одно решение, то есть у полученных после преобразования квадратных уравнений дискриминант равен нулю:
Из условия следует, что 
Остаются три значения.
будет соответствовать единственное значение y. Следовательно, мы вправе переформулировать задачу так: найдите все значения а, за исключением 0, при каждом из которых уравнение 
уравнение (1) примет вид: 
и 
или
или
и 
и 
принадлежат промежутку 
В данной ситуации нам достаточно доказать: 
и 
и 
и убедимся, что эти значения параметра — искомые.
то:
то:
кроме 
и 
уравнения (1) и (2), следовательно, и исходная система уравнений имеет ровно четыре решения, что нас не устраивает; при значениях же 
или 
(ясно, что одновременно этого произойти не может).
или 
или 
можно понимать так — «найти все точки на оси, сумма расстояний от которых до двух данных точек b и c равна d.» Очевидно, у этой задачи нет решений при 
бесконечно много решений при 
и два решения при 
было больше двух, а другое меньше двух. Выясним, когда они меньше двух.
— четыре решения, а при остальных значениях параметра a решений не будет.
и тогда 
то есть 
в частности b положительно (иначе решений просто нет).
(второе невозможно); 
где k — натуральное число. 
где k натуральное. И все, что требуется — чтобы при данном b нашлось нечетное количество таких натуральных k, при которых 
получается положительной.
подходило, а число 2n уже нет. То есть, чтобы 
при некотором натуральном n.
При этих значениях a можно найти z — оно будет равно 
При 
получаем 
следовательно, второе уравнение не имеет смысла. При 
значение z — заведомо положительное и не равное единице число, поэтому второе уравнение можно упростить.
(при этом необходимо и достаточно, чтобы 
то решение системы найдется (сначала найдем x, потом y, а формула для z уже есть).
).
а при таких x равенство выполняется.
а при таких y равенство выполняется.
При произвольном a эти условия задают на координатной плоскости квадрат со стороной 1.
задаваемые уравнениями 
все такие квадраты лежат ниже прямой 
(а на этой прямой лежит их верхняя правая вершина). Она пересекает график второго уравнения при 
Значит, при 
будет единственное решение. Затем луч
пересекает квадрат по отрезку до момента, когда левая нижняя вершина попадет на этот луч. То есть при условии, что 
Однако при таком a квадрат уже пересекает второй луч.
Это произойдет, когда 
После этого квадрат окажется ниже линии 
и решений не станет.
или 
причем равенство возможно только при 
Они подходят во второе уравнение только при 
Для этого его дискриминант должен быть неотрицателен.
второе — прямую, проходящую через точку 
с переменным угловым коэффициентом.
) разбиваются на пары, и их четное количество. Поэтому если мы хотим ровно три решения, то одно из них должно иметь 
Тогда из первого уравнения 
является решением системы, а при выписывании в ответ не забудем взять a с противоположными знаками.
то есть 
Разберем теперь эти случаи.
и второе уравнение дает 
то есть 
или 
Второе, очевидно, невозможно.
то из первого уравнения имеем 
Итак, в этом случае система имеет единственное решение, что нас не устраивает.
То есть 
Поскольку 
минимум одно из чисел больше чем ?1. Будем считать, что это x (иначе поменяем x и y местами, это возможно, как мы уже обсуждали).
Как уже выяснялось, это уравнение в сочетании с первым дает лишь ответ (1, 1).
при этом 
то есть 
Из первого уравнения 
то есть 
Это не подходит.
Нас устраивает только 
При этом 
поэтому на самом деле это не решение системы.
при этом 
Из первого уравнения 
Это дает еще два ответа.
и параллельную прямой 
второе — окружность радиуса 1 и окружность радиуса 
при 
(при 
Очевидно, прямая пересекает окружность радиуса 1 при 
а при 
прямая касается окружности в точке 
— итого три точки.
Прямая пересекает окружность радиуса 1 в двух точках, поэтому не должна пересечь окружность радиуса 
) должно быть больше радиуса окружности
Это невозможно, поэтому такие a не подходят.
Тогда окружности совпадают и точек пересечения действительно две.
Тогда прямая касается одной окружности, но не касается второй. Это не подходит.
Прямая не пересекает окружность радиуса 1, поэтому должна пересечь окружность радиуса 
Итак, подходят 
и складывая его со вторым, получим 
С учетом этого первое неравенство можно переписать в виде 
или 
лежащие в круге радиуса 5 с центром в точке 
Нарисовав этот круг и гиперболу, мы увидим, что они имеют 4 точки пересечения 
(координаты легко угадываются).
задает прямую, проходящую через точку 
с переменным угловым коэффициентом. Эта прямая проходит через точки пересечения окружности и гиперболы при 
соответственно.
Случай касания соответствует дискриминанту равному нулю: 
но при 
точек пересечения будет две, что не подходит.
или 
Первое равносильно 
при условии 
то есть 
Неравенство 
выполняется при 
и при 
Тогда имеем 
нужно иметь два подходящих корня. Поскольку 
— верно, то корни есть. Их сумма и произведение 
и 
положительны, значит, и корни положительны, поэтому они оба подходят.
Их нет.
Их нет.
), то нужно чтобы отрицательный корень был не больше 
было отрицательно (ветви параболы 
направлены вверх). 
Это верно.
корней нет. При 
корень равен 
и он подходит. При 
есть два корня, поэтому нужно, чтобы значение при 
лежит между корнями, поскольку ветви параболы направлены вниз). 
Это неверно.
Тогда первое уравнение примет вид:
Точнее, учитывая дополнительное условие, это уравнение двух дуг этой окружности — верхней от точки (-2;4) до точки (3;3) и нижней от точки (-2;-2) до точки (3;-1). Второе уравнение системы задает прямую, параллельную 3y = 2x, при увеличении a прямая смещается вверх. 
есть одно решение, при 
и при 
решений нет. Учитывая найденные касательные, находим также, что при 
будет два решения, при a = -10 — одно решение, при a < -10 решений нет.
(-2;3). Тогда первое уравнение примет вид:
16 второй случай дает 2 корня, 
[3;16) — один корень, 
— нет корней 
— один корень, 
— два корня.
Подставляя 
имеем
Возможны следующие ситуации, потенциально дающие ровно два корня (зная x мы одноначно восстановим y).
подходит.
имеет два корня, подходит.
(у скобок по одному корню). 
Они подходят (см. случай 4).
один из корней первой скобки равен 
(совпадает с корнем второй). Тогда 
Поскольку эти a не совпадают с полученными в пункте 
то при них (и при тех, которые получены в пункте 3) действительно по два корня.
имеет решение при любом значении параметра а.
имело решение при любом 
принимала все значения. (если знаменатель равен 0, то 
имеем 
поэтому при достаточно больших 
она по модулю не превосходит 1. Если она непрерывна, то на конечном промежутке, где 
Если 
то знаменатель всегда отрицателен и не имеет корней.
или 
имеем 
Она принимает все значения, кроме 0, поэтому подходит.
то знаменатель имеет корни, по разные стороны от которых он имеет разный знак. Тем самым функция меняется от 
до минус бесконечности при y от 
и от бесконечности до нуля при y от 
Тогда 
при 
и 
при 
Тогда на втором промежутке функция всюду отрицательна и принимает значения отминус бесконечности до нуля. По непрерывности она принимает их все.
и 
Тогда уравнение 
должно иметь единственный положительный корень. Раскрывая скобки, получим 
При 
второй корень равен 
Нам годится только 
во втором 
Нам годится только 
и произведение корней отрицательно (
). Нас устроит 
То есть 
или 
Подставим их.
то есть 
дает 
то есть 
имеет ровно два решения.
и подставим в первое. Число решений системы будет равно числу решений полученного уравнения.
тогда корни второй скобки равны между собой и равны 
равен 
имеет ровно два решения.
при 
и к виду 
при 
Поэтому график уравнения представляет собой объединение двух дуг окружностей.
Его график - окружность с центром в точке 
и радиусом 
Нам нужно, чтобы эти два множества пересекались ровно в двух точках.
и 
— при таких a окружность пересекает каждую дугу один раз, а всего два.
откуда 
Получим, что левая часть не меньше 
Правая же часть не больше 
поэтому 
откуда 
Тогда правая часть равна 
поэтому неравенство обращается в равенство и верно.
причем 
(меньше 
брать нельзя из-за значений y). Из первого получаем 
это невозможно. В остальных случаях получаем
Это выражение на отрезке 
принимает все значения из отрезка 
Его дискриминант равен 
поэтому необходимо 
Тогда есть два корня, а для того, чтобы они оба были положительны, нужно, чтобы положительными были их сумма и произведение. То есть 
и 
то есть 
Наконец, есть вариант, когда один из корней равен нулю. Для этого 
должно быть равно нулю, то есть 
(при 
второй корень отрицателен).
и получим
Подстановка в первое уравнение, домноженное на 4, дает
Будем рассматривать большее значение 
Имеет смысл рассматривать только 
а при таких a обе части положительны и можно возвести неравенство в квадрат.
Докажем, что 
Умножим на 12.
Очевидно 
поэтому если новая система имеет решение, то и старая тоже (и наоборот). Тогда имеем систему
Во-первых, это означает, что 
А во-вторых, выражая u из первого уравнения, находим 
Если у этого уравнения есть корень, то есть и решение у системы.
четна и стремится к бесконечности при 
или при 
Остается лишь найти ее наименьшее значение на положительной полуоси. Для этого приравняем к нулю ее производную.
и 
задают прямые, пересекающиеся в точке 
Неравенство же задает два из четырех бесконечных углов, на которые эти прямые делят плоскость.
Вторая после выражения 
и подстановки приводит к уравнению 
имеющему корни 
Значит, мы определили концы дуг окружности, высекаемых на ней двумя бесконечными углами. Очевидно на каждой дуге возможны все значения координаты a от принимаемого на одном конце до принимаемого на другом. Сами концы однако не включаются, поскольку неравенство строгое.
первое уравнение дает 
то есть 
выражение под первым модулем отрицательно и мы получаем 
откуда 
и его корни (хотя бы один из a и 
) должны быть равны −1 или лежать на промежутке 
Тогда имеем 
и 
Складывая эти уравнения, находим 
Подставляя это во второе уравнение, получаем после преобразований уравнение 
с корнями 
и 
В первом случае 
имеем 
или 
Подставляя это во второе уравнение системы, находим соответственно 
или 
Второе невозможно, а первое дает лишь один ответ 
(угадано по теореме Виета).
имеем 
или 
Подставляя это во второе уравнение системы, находим соответственно 
или 
Первое дает лишь один ответ 
(угадано по теореме Виета).Второе дает два ответа, поскольку числа 
являются корнями квадратного уравнения 
у которого действительно есть два положительных различных корня.
иначе можно изменить x и уменьшить правую часть 
принимает свое максимальное значение 
(иначе можно увеличить левую часть). 
откуда 
или 
При таких p получается неравенство
что возможно только при 
и 
иначе неравенство нарушится по знаку выражений.
Тогда каждому неотрицательному решению системы
и они не равны нулю, то можно еще поменять местами z и t и получить 8 решений.
либо они равны друг другу (и тогда равны 
) и 
Осталось убедиться, что в этих случаях других неотрицательных решений система не имеет.
имеем
дающие по два решения системы. Других нет, поскольку возводя первое уравнение в четвертую степень и вычитая второе, находим 
что для неотрицательных чисел возможно только при 
имеем
дающее четыре решения системы. Других нет, поскольку выразив из первого уравнения z и подставив во второе, получим
а вторая корней не имеет.
и отметим сразу, что 
причем для 
получается одно значение x, а для больших t — два. Уравнение примет вид 
Его корнями являются 
и 
если 
то есть при 
Получаем следующие варианты
один корень у изначального уравнения 
— есть единственный корень 
два корня у изначального уравнения.
три корня у изначального уравнения.
— есть два корня 
четыре корня у изначального уравнения.
— есть один корень 
два корня у изначального уравнения.
— есть один корень 
два корня у изначального уравнения.
и 
получим уравнение 
и угловым коэффициентом 
Как видно из картинки, при 
тогда нужно, чтобы уравнение 
имело единственный корень. Приравнивая к нулю его дискриминант, получаем 
Аналогично при 
касание будет с другой стороны. 
равно 3.
— квадратный трехчлен. Поэтому наименьшее значение он принимает либо на концах отрезка (в том, который ближе к точке минимума, если она не лежит на отрезке), либо в точке 
если она лежит на отрезке.
Ясно что при 
точка минимума 
лежит на отрезке, поэтому оно не подходит. 
подходит, поскольку 
Ясно что при 
точка минимума 
подходит, поскольку 
чем к 
Тогда 
Тогда 
поскольку иначе получается евозможное основание для логарифма. При таких x уравнение равносильно следующему
Значит, вторая скобка должна дать не более двух новых корней на 
Есть два очевидных варианта.
или 
— тогда у второй скобки вообще нет корней.
будет два новых корня 
а при 
будет один новый корень 
где синус примет все возможные значения (кроме 
) ровно по одному разу.
с центром в 
либо на окружности радиуса 
Сразу заметим, что расстояние между центрами окружностей составляет 
поэтому окружности не пересекаются. Значит, для существования четырех решений прямая 
должна иметь с каждой окружностью ровно две общие точки. То есть расстояние от центра каждой окружности до прямой должно быть меньше радиуса. Получаем систему неравенств
Это дает окончательный ответ 
Это либо внутренность круга с центром в точке 
и радиусом 
либо точка 
Это либо внутренность круга с центром в точке 
и радиусом 
либо точка 
при 
Значит, 
получаем 
оно подходит.
получаем 
оно подходит.
в первое неравенство.
и радиусом b. Решим задачу графически: определим, при каких значениях параметра a данная окружность имеет с графиком первого уравнения системы ровно 3 общие точки. 
исходная система равносильна следующей смешанной системе:
задает прямую, угловой коэффициент которой равен −1, пересекающую ось ординат в точке 
Условия 
и 
задают прямой угол с вершиной в точке 
стороны которого лежат на прямых, задаваемых уравнениями y = 1 и х = 1 (см. рис., выделено красным). В силу условия 
которое означает, что х и у не равны нулю одновременно, вершина угла A графику уравнения не принадлежит.
— точка пересечения прямых 
— точка пересечения прямых 
и 
Треугольник ABC прямоугольный равнобедренный с гипотенузой BC и катетами AB и AC. Длины катетов равны 
длина гипотенузы равна 
поэтому искомый радиус b = 1 при а = 2.
где 
Тогда искомый радиус 
при 
— середина отрезка АD. Тогда 
то окружность, касающаяся BC, пересекает катеты AB и AC каждый в одной точке, т. е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае 
поэтому 
то центр окружности лежит между точками R и 
а тогда касающаяся гипотенузы окружность пересекает каждый катет дважды, и система имеет 5 решений.
получаем уравнение 
Но 
— возрастающая функция, поэтому 
то есть 
Это уравнение имеет не менее двух решений в случае, когда его дискриминант положителен. Значит, 
первое уравнение можно записать в виде: 
и радиусом 
лежащей в полуплоскости 
первое уравнение можно записать в виде: 
и радиусом 
Точки пересечения этих окружностей с прямыми можно угадать по картинке и проверить подстановкой, это 
и 
Второе уравнение задает прямую, проходящую через точку 
и любая прямая, кроме вертикальной, может быть задана таким уравнением.
C окружностью она не пересекается. 
радиусу окружности). Поэтому необходимо и достаточно, чтобы прямая имела с параболой две общие точки. Выясним, когда это происходит. Очевидно, если прямая вертикальна и касается окружности, то она вообще не пересекает параболу, а если горизонтальна — то параллельна оси параболы и имеет лишь одну общую точку. Выразим из уравнения прямой x и подставим в уравнение параболы. 
косинус монотонно убывает, поэтому подходят 
Поскольку косинус четен, подходят также противоположные значения, лежащие на 
При этом нужно, чтобы выполнялось условие 
(иначе логарифм не определен). Выражение 
получится положительным автоматически, поскольку при интересующих нас 
просто отличается от 
в восемь раз. Итак, 
а во-вторых 
Достаточно чтобы 
то есть 
При 
это точно неверно, а при 
можно возвести в квадрат, поскольку обе части неравенства положительны. Имеем:
получаем окончательно 
Вместе с координатными осями она разобьет плоскость на шесть частей, в каждой из которых модули раскрываются одинаково во всех точках.
имеем 
откуда 
до 
имеем 
откуда 
Нас интересует только отрезок этой прямой от 
до 
имеем 
откуда 
Нас интересует только отрезок этой прямой от 
образуют квадрат. Его сторона 
поэтому радиус вписанной окружности 
Значит, при 
окружность лежит целиком внутри этого квадрата и не имеет общих точек с шестиугольником. При 
она касается двух сторон шестиугольника, поэтому такая ситуация нас устраивает. При бОльших a (но меньших чем 
) она содержит две точки с отрезка, соединяющего 
и 
но при этом выходит за пределы шестиугольника. в каждой полуплоскости относительно 
Значит, в каждой полуплоскости она имеет минимум два пересечения с контуром, а всего минимум четыре.
она содержит две вершины шестиугольника, а остальные вершины лежат у нее внутри, поэтому она больше нигде не пересекает его стороны. При бОльших a все вершины шестиугольника лежат у нее внутри и точек пересечения нет вовсе.
второе уравнение дает 
что невозможно. Во всех остальных случаях из второго уравнения следует 
Подставим это в первое уравнение и преобразуем.
никогда не годится в первое уравнение. Значит, можно поделить первое уравнение на y. имеем:
имеем 
имеем: 
(как мы помним, брать 
(это значение получено решением уравнения 
), поэтому такое значение тоже есть. С другой стороны, выражение 
положительно при 
а выражение 
положительно при 
Поэтому при 
поэтому при 
значения функции положительны (а все положительные уже и так есть). Осталось установить ее поведение на интервале 
Взяв ее производную, получим 
Корень числителя на 
это 
и 
(ясно что это именно максимум, поскольку знаменатель производной положителен, а числитель 
убывает на 
поэтому производная сначала положительна, а потом отрицательна). При 
имеем 
Итак, на этом интервале функция принмает значения 
то и 
Значит, первое уравнение примет вид:
тоже подходят. Поэтому все решения разбиваются на пары, кроме тех, в которых 
или 
и 
получаем уравнение: 
получаем уравнение: 
Это уже три решения.
или 
и это единственное решение.
Аналогично, 
Точки с такими координатами заполняют на координатной плоскости квадрат со стороной 1 и вершинами в 
Точки, координаты которых удовлетворяют второму уравнению, лежат на лучах 
то есть удовлетворяют либо условию 
при 
либо условию 
при 
Полученная «галочка» может иметь с квадратом одно пересечение, только если она проходит через его вершину, либо если ее вершина 
лежит на контуре квадрата. Выясним, когда это происходит.
удовлетворяет условию 
удовлетворяет условию 
(не подходит, другой луч пересекает квадрат).
удовлетворяет условию 
удовлетворяет условию 
(не подходит, другой луч пересекает квадрат).
поэтому такой случай невозможен.
или 
В противном случае перепишем второе уравнение в виде 
получаем уравнение:
Очевидно положительных корней оно иметь не может. поскольку произведение его корней по теореме Виета есть 
то оба корня не могут лежать на указанном промежутке. Итак, нужно, чтобы один корень лежал на 
то есть чтобы 
и 
имели разные знаки. Отметим сразу, что корней должно быть два — если корень единственный, он равен 
Далее, 
Значит, 
Тогда корнем вспомогательного уравнения будет 
откуда 
Если взять 
то есть 
то в первом неравенстве тоже получится равенство, поскольку
и 
Ясно что 
подходит. Значит, других решений быть не должно.
неравенства превращаются в 
и 
В них годятся 
поэтому все такие x не должны подойти в неравенство 
Значит, 
неравенства превращаются в 
и 
Так вообще не может быть. Поэтому этот случай не накладывает новых ограничений на a.
второе — 
Выразим из первого уравнения y и подставим во второе. Полученное уравнение на x должно будет иметь не более двух решений (поскольку по каждому x будет однозначно определяться y). Имеем: 
Очевидно 
:
и уравнение не квадратное, то оно примет вид 
имеет корень 
невозможно.
(напомним, что 
Итак, мы ищем корни лишь на этом промежутке. Одна из скобок должна быть равна нулю. Выясним сразу, при каких a есть x, обнуляющее обе скобки. Для это нужно, чтобы 
Но при 
левая часть отрицательна, а правая неотрицательна. Поэтому такое возможно лишь при 
и, соответственно, при 
Если построить график 
то мы получим параболу с вершиной в 
и нас будет интересовать количество ее пересечений с прямой 
над отрезком 
Из картинки виден ответ:
нет решений;
2 решения;
1 решение;
нет решений.
Если 
то график 
можно построить, преобразовав уравнение к виду 
Значит, это будет верхняя полуокружность с центром в 
Ясно, что при 
пересечений нет, при 
одно решение, при 
до момента касания с левой полуокружностью два решения, при касании одно решение, дальше решений нет.
2 решения;
2 решения 
2 решения 
касается правой полуокружности. То есть расстояние от 
Второй ответ соответствует касательной, которая касается ненарисованной на нашей картинке нижней полуокружности.
или 
то после раскрытия модулей имеем 
Первое уравнение примет вид 
и будет иметь конечное число решений. Поэтому их все можно не учитывать. Аналогично если 
мы получим 
и снова 
тогда получаем 
Если 
не подходят в неравенство 
Если же 
то можно взять любое 
и подобрать к нему y. Нужно чтобы 
Это верно, например, при 
поскольку тогда 
Значит, и в самом деле есть бесконечно много решений.
(это не влияет на число решений), получаем:
подходит в это решение, то и пара 
в него подходит. Поэтому для единственности решения необходимо, чтобы в этом решении было 
Рассмотрим уравнение 
Если оно имеет два корня 
и 
то система имеет минимум два решения 
и 
эта ситуация нас не устраивает. Значит, либо 
(дискриминант равен нулю и уравнение имеет лишь один корень). Осталось проверить, будет ли при таких a решение системы единственным. Если 
то система сведется к уравнению 
у которого, как мы знаем, в этом случае один корень. Если же 
то домножим первое уравнение системы на a и сделаем подстановку 
Имеем:
не является корнем второго уравнения, а значит, и решением системы. Тогда, обе части второго уравнения системы можно разделить на 
соответствует ровно одно значение 
Значит, количество решений системы равно количеству решений первого уравнения системы. Заметим, что 
уравнение является квадратным. Найдём его дискриминант и исследуем его:
уравнение 
имеет ровно один корень;
уравнение 
уравнение 
или 
или 
Преобразуем второе уравнение системы:
и радиусом 
система не имеет решений;
система имеет одно решение;
система не имеет решений.
при 
Таким образом, на ОДЗ первое уравнение, а значит, и вся система, имеет единственное решение при 
или при 
Решением первого неравенства будут все точки параболы 
и все точки плоскости, лежащие выше этой параболы. Решением второго неравенства будут все точки параболы 
и все точки плоскости, лежащие ниже этой параболы.
— ветви вниз;
А также, что 
Схематично изобразим параболы и решение системы (на рисунке выделено зелёным цветом):
или 
или 
система имеет бесконечно много решений.
а число решений второй системы — числом корней уравнения 
Рассмотрим эти уравнения. 
(⁎):
и построим ее график. Найдём производную:
Наклонная асимптота: 
вертикальная асимптота: 
два корня при 
и один корень при 
(⁎⁎):
и построим ее график. Найдём производную:
Наклонная асимптота: 
два корня при 
и один корень при 
и 
для этого рассмотрим разность:
Тогда исходная система имеет: 
и 
Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке 
и радиусом 
Система имеет ровно четыре решения, в двух случаях.
Тогда
то есть при
или 
вариант.
округленное вверх. При всех n, кроме 35, это не более 11 (а при n = 33 можно взять a = 11 и все кратные 3 числа на роль b). При n = 35 подходящие числа не могут отличаться и на 3, поскольку если ab и a(b + 3) кратны 35, то и 3a, а с ним и a кратно 35, поэтому для 35 этих чисел не более 
с округлением вверх, что равно 9.
радиуса 3 с центром в точке 
(см. рис.) Определим, при каких значениях параметра системы совместно имеют ровно два решения.
может иметь одну общую точку с кругом 
или 
) или может иметь бесконечно много общих точек с кругом 
Определим, какие значения параметра соответствуют касанию окружности и прямой. Расстояние от точки 
до прямой 
должно равняться 
задаваемой вторым уравнением, 0, 1 или 2 общие точки. Определим, какие значения параметра соответствуют касанию двух окружностей. 
радиус 
равен 2, откуда 
а у окружности 
радиус 
Таким образом, система (2): 
и при 
и при 
и при 
решением системы (2). Найдём решение системы (1) при 
получаем точку 
а при 
получаем точку 
Подставим найденные решения в первое уравнение системы (2):
— неверно,
или при 
при 
принимает значения из промежутка 
ровно по одному разу. Пусть 
тогда второе уравнение примет вид:
разрешимо при 
При 
корнем является 
для прочих b уравнение сводится к квадратному 
с дискриминантом 
неотрицательным при 
преобразуем первое неравенство системы:
не приводит к потере корней, тогда можно записать систему в виде
—
сводится к
положительных корней нет, все слагаемые положительны при 
выражение 
отрицательно, а при больших t — положительно, поэтому на луче 
уравнение 
положительных корней не имеет. Значит, 
В таком случае решением первого неравенства будет 
Заметим, что при 
получим 
поэтому отрицательные z можно не рассматривать. Кроме того, 
следовательно:
требуется 
требуется 
Его производная 
отрицательна при 
и положительна при 
Значит, выражение убывает при 
и возрастает при 
а наименьшее его значение достигается при 
и равно 
Если это значение попадает в допустимый для z интервал, то можно взять 
соответствующее z, и получить решение системы. Если не попадает, то никакие другие значения выражения 
не дадут допустимых z, и потому решений у системы не будет. Рассмотрим последний случай.
нужно чтобы 
Решим это неравенство:
Заметим, что правая часть возрастает при росте a, поэтому достаточно найти то a, при котором будет равенство и взять a, большие его:
а второй корень больше 8 и потому посторонний — он появился при возведении в квадрат.