Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 508176
i

При каком наи­боль­шем зна­че­нии па­ра­мет­ра а си­сте­ма урав­не­ний имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 6y плюс 8=0 , новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та \left| x | плюс y=6. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

левая круг­лая скоб­ка x плюс a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 6y плюс 9=1 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1.

Это урав­не­ние за­да­ет мно­же­ство окруж­но­стей с цен­тром на пря­мой y= минус 3 и ра­ди­у­сом R=1.

Вто­рое урав­не­ние за­да­ет пару лучей, ис­хо­дя­щих из точки левая круг­лая скоб­ка 0;6 пра­вая круг­лая скоб­ка , сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но оси Оу.

Один из этих лучей, оче­вид­но, яв­ля­ет­ся ча­стью пря­мой, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем y= минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x плюс 6, дру­гой  — урав­не­ни­ем y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x плюс 6.

Для того чтобы си­сте­ма имела един­ствен­ное ре­ше­ние, не­об­хо­ди­мо, чтобы эти пря­мые имели одну един­ствен­ную общую точку с окруж­но­стью.

Центр окруж­но­сти имеет абс­цис­су минус a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­чит, при x мень­ше 0 минус a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше 0 рав­но­силь­но a боль­ше 0; если x боль­ше или равно 0, то минус a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но a мень­ше или равно 0. По­сколь­ку мы ищем наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра а, огра­ни­чим­ся лишь рас­смот­ре­ни­ем слу­чаяx мень­ше 0.

Тогда: \left| x |= минус x,x= дробь: чис­ли­тель: y минус 6, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Под­ста­вим это зна­че­ние х в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы и пре­об­ра­зу­ем его:

левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: y минус 6, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 6y плюс 8=0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: y в квад­ра­те минус 12y плюс 36, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка y минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 3a в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 6y плюс 8=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: y в квад­ра­те минус 12y плюс 36, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2ay минус 12a плюс 3a в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 6y плюс 8=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но y в квад­ра­те минус 12y плюс 36 плюс 6ay минус 36a плюс 9a в квад­ра­те плюс 3y в квад­ра­те плюс 18y плюс 24=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 4y в квад­ра­те плюс 6 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка y плюс 9a в квад­ра­те минус 36a плюс 60=0.

По­тре­бу­ем, чтобы по­след­нее урав­не­ние имело един­ствен­ный ко­рень. Для этого не­об­хо­ди­мо вы­пол­не­ние усло­вия: чет­верть его дис­кри­ми­нан­та обя­за­на быть рав­ной нулю.

дробь: чис­ли­тель: D, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =9 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2a плюс a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 36a в квад­ра­те плюс 144a минус 240=
=9 плюс 18a плюс 9a в квад­ра­те минус 36a в квад­ра­те плюс 144a минус 240= минус 27a в квад­ра­те плюс 162a минус 231=0.

Решим урав­не­ние: 27a в квад­ра­те минус 162a плюс 231=0.

27a в квад­ра­те минус 162a плюс 231=0 рав­но­силь­но 9a в квад­ра­те минус 54a плюс 77=0 рав­но­силь­но a= дробь: чис­ли­тель: 27\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 729 минус 693 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби рав­но­силь­но a= дробь: чис­ли­тель: 27\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но a= дробь: чис­ли­тель: 27\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка a= дробь: чис­ли­тель: 33, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , новая стро­ка a= дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка a= дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , новая стро­ка a= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти ..

Ис­ко­мым зна­че­ни­ем па­ра­мет­ра а яв­ля­ет­ся дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025