Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 514572

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

 система выражений y плюс x=a, левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 1 правая круглая скобка =0 конец системы .

имеет ровно два решения.

Спрятать решение

Решение.

Отметим точки, координаты которых удовлетворяют системе. Первое уравнение задает прямую, проходящую через точку  левая круглая скобка 0.5a,0.5a правая круглая скобка и параллельную прямой y= минус x, второе — окружность радиуса 1 и окружность радиуса  корень из a при a больше или равно 0 (при a=0 получается точка).

Теперь разберем случаи.

1) a меньше 0. Очевидно, прямая пересекает окружность радиуса 1 при a больше минус корень из 2, а при a= минус корень из 2 прямая касается окружности в точке  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби правая круглая скобка .

Поэтому подходят a принадлежит левая круглая скобка минус корень из 2;0 правая круглая скобка .

2) a=0. Прямая пересекает окружность в двух точках и еще проходит через точку  левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка  — итого три точки.

3) 0 меньше a меньше корень из 2, a не равно 1. Прямая пересекает окружность радиуса 1 в двух точках, поэтому не должна пересечь окружность радиуса  корень из a.

То есть расстояние от центра окружности до этой прямой (равное  дробь: числитель: a, знаменатель: корень из 2 конец дроби ) должно быть больше радиуса окружности

 дробь: числитель: a, знаменатель: корень из 2 конец дроби больше корень из a,

a в квадрате больше 2a.

 a больше 2. Это невозможно, поэтому такие a не подходят.

4) a=1. Тогда окружности совпадают и точек пересечения действительно две.

5) a= корень из 2. Тогда прямая касается одной окружности, но не касается второй. Это не подходит.

6) a больше корень из 2. Прямая не пересекает окружность радиуса 1, поэтому должна пересечь окружность радиуса  корень из a в двух точках. То есть расстояние от центра окружности до этой прямой (равное  дробь: числитель: a, знаменатель: корень из 2 конец дроби ) должно быть меньше радиуса окружности

 дробь: числитель: a, знаменатель: корень из 2 конец дроби меньше корень из a,

a в квадрате меньше 2a,

a меньше 2. Итак, подходят a принадлежит левая круглая скобка корень из 2; 2 правая круглая скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус корень из 2;0 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка корень из 2; 2 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 156.
Классификатор алгебры: Системы с параметром