а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре BB₁ от­ме­че­на точка Q такая, что BQ : QB₁  =  2 : 7. Плос­кость α про­хо­дит через точки A и Q па­рал­лель­но пря­мой BD. Эта плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что C₁M : CC₁  =  5 : 9.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если AA₁  =  18.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AB  =  AC  =  10, BC  =  12. На сто­ро­не AB от­ме­ти­ли точки M₁ и M₂ так, что AM₁ < AM₂. Через точки M₁ и M₂ про­ве­ли пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные сто­ро­не AB и от­се­ка­ю­щие от тре­уголь­ни­ка ABC пя­ти­уголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность.

а)   До­ка­жи­те, что AM₁ : BM₂  =  1 : 3.

б)  Най­ди­те пло­щадь дан­но­го пя­ти­уголь­ни­ка.

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 340 мил­ли­о­нов руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тысяч еди­ниц про­дук­ции на таком за­во­де равны 0,3x² + x + 12 мил­ли­о­нов руб­лей в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит px − (0,3x² + x + 12). Когда завод будет по­стро­ен, каж­дый год фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы го­до­вая при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки за­во­да цена про­дук­ции p  =  14 тыс. руб. за еди­ни­цу. Каж­дый сле­ду­ю­щий год цена про­дук­ции уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство за­во­да?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 2 ре­ше­ния на ин­тер­ва­ле

Уче­ник решил по­стро­ить таб­ли­цу умно­же­ния всех целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел мень­ших не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа n. При этом он все время делал одну и ту же ошиб­ку  — вме­сто зна­че­ния про­из­ве­де­ния за­пи­сы­вал в таб­ли­цу оста­ток от де­ле­ния этого про­из­ве­де­ния на число n. На­при­мер, таб­ли­ца для n  =  4 при­ве­де­на на ри­сун­ке.

а)  Может ли на диа­го­на­ли такой таб­ли­цы сто­ять ровно 9 нулей?

б)  Может ли общее ко­ли­че­ство нулей (не счи­тая тех, ко­то­рые на­хо­дят­ся в пер­вой стро­ке или пер­вом столб­це  — шапке таб­ли­цы) в таб­ли­це быть рав­ным 41?

в)  Най­ди­те мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство нулей в одной стро­ке таб­ли­цы (ис­клю­чая стро­ку со всеми ну­ля­ми), если n  — не­чет­ное и 15 ≤ n ≤ 35.