Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 508181
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка y= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 5 минус a минус y пра­вая круг­лая скоб­ка = де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы .

имеет ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му так: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка y= дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 2x плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка 5 минус a минус y=a минус x , новая стро­ка a минус x боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Решим урав­не­ние 5 минус a минус y=a минус x от­но­си­тель­но х, под­став­ляя за­дан­ное зна­че­ние у.

x минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 2x плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2a плюс 5=0 рав­но­силь­но 2x минус x в квад­ра­те плюс 2x минус 1 минус 4a плюс 10=0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x плюс 4a минус 9=0.

По­след­нее урав­не­ние будет иметь ре­ше­ние, если его чет­верть дис­кри­ми­нан­та будет не­от­ри­ца­тель­ной, т. е.

4 минус 4a плюс 9 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 4a мень­ше или равно 13 рав­но­силь­но a мень­ше или равно 3,25.

При таких зна­че­ни­ях а x=2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 минус 4a конец ар­гу­мен­та .

Те­перь рас­смот­рим не­ра­вен­ство a минус x боль­ше 0 на мно­же­стве левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;3,25 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Слу­чай 1. x=2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 минус 4a конец ар­гу­мен­та .

a минус 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 минус 4a конец ар­гу­мен­та боль­ше 0 рав­но­силь­но a минус 2 боль­ше минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 минус 4a конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка a минус 2 боль­ше или равно 0 , новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка a минус 2 мень­ше 0 , новая стро­ка 2 минус a мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 минус 4a конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка a боль­ше или равно 2 , новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка a мень­ше 2 , новая стро­ка 4 минус 4a плюс a в квад­ра­те мень­ше 13 минус 4a конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка a боль­ше или равно 2 , новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка a мень­ше 2 , новая стро­ка a в квад­ра­те мень­ше 9 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка a боль­ше или равно 2 , новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка a мень­ше 2 , новая стро­ка минус 3 мень­ше a мень­ше 3 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка a боль­ше или равно 2 , новая стро­ка минус 3 мень­ше a мень­ше 2 конец со­во­куп­но­сти ..

С уче­том того, что a мень­ше или равно 3,25, по­лу­чим: минус 3 мень­ше a мень­ше или равно 3,25.

Слу­чай 2. x=2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 минус 4a конец ар­гу­мен­та .

a минус 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 минус 4a конец ар­гу­мен­та боль­ше 0 рав­но­силь­но a минус 2 боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 минус 4a конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка a минус 2 боль­ше 0 , новая стро­ка a в квад­ра­те минус 4a плюс 4 боль­ше 13 минус 4a конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка a боль­ше 2 , новая стро­ка a в квад­ра­те боль­ше 9 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка a боль­ше 2 , новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка a мень­ше минус 3 , новая стро­ка a боль­ше 3 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но a боль­ше 3.

С уче­том того, что a мень­ше или равно 3,25, имеем: 3 мень­ше a мень­ше или равно 3,25.

Ясно, что при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 3;3,25 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка каж­до­му зна­че­нию пе­ре­мен­ной х будет со­от­вет­ство­вать впол­не опре­де­лен­ное зна­че­ние пе­ре­мен­ной у.

 

За­ме­ча­ния:

1.   При пе­ре­хо­де из за­дан­ной в пре­об­ра­зо­ван­ную си­сте­му вклю­чать в си­сте­му не­ра­вен­ство 5 минус a минус y боль­ше 0 на­доб­но­сти нет, по­сколь­ку вы­пол­не­ние усло­вия a минус x боль­ше 0 уже обес­пе­чит по­ло­жи­тель­ный знак левой части ра­вен­ства 5 минус a минус y=a минус x.

2.  Не­труд­но за­ме­тить, что при минус 3 мень­ше a мень­ше или равно 3, а = 3,25 си­сте­ма будет иметь одно ре­ше­ние, а при 3 < a < 3,25  — два ре­ше­ния. Од­на­ко такой де­та­ли­за­ции за­да­ча не тре­бу­ет. Такая де­та­ли­за­ция может счи­тать­ся даже из­бы­точ­ной.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 3; дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источники:
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025