ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 514063 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых система

$система выражений левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс 36 плюс 6x плюс 12y правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс 2y плюс 2 правая круглая скобка =0,y плюс 3=ax минус a. конец системы .$

имеет хотя бы одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $x в квадрате плюс y в квадрате плюс 2y плюс 2=x в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 больше или равно 1,$ причем равенство возможно только при $x=0,$ $y= минус 1.$ Они подходят во второе уравнение только при $a= минус 2.$ Итак, при $a= минус 2$ решение есть. Во всех прочих случаях логарифм определен и не равен нулю, поэтому систему можно упростить.

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x в квадрате плюс 6x плюс левая круглая скобка y плюс 6 правая круглая скобка в квадрате =0, новая строка y плюс 3=ax минус a. \endaligned. левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Значит, должно быть решение у уравнения $x в квадрате плюс 6x плюс левая круглая скобка ax минус a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =0.$ Для этого его дискриминант должен быть неотрицателен.

$левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x в квадрате плюс x левая круглая скобка 6 минус 2a в квадрате плюс 6a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате =0.$

Вычислим дискриминант (сразу поделив на 4):

$левая круглая скобка a в квадрате минус 3a минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус 6a плюс 9 правая круглая скобка больше или равно 0,$

$минус 7a в квадрате плюс 24a больше или равно 0,$

$a принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка минус 2 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .$

Примечание. Можно также решить систему (2) графически. Первое уравнение задает окружность $левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 6 правая круглая скобка в квадрате =9,$ второе  — прямую, проходящую через точку $левая круглая скобка 1; минус 3 правая круглая скобка$ с переменным угловым коэффициентом.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

↑

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 153

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Дарима Цыбикова 09.02.2017 17:46

Если решать графически, то можно сказать, что первое уравнение исходной системы задает окружность, о которой вы говорите, и точку (0;-1). Мне кажется - так красивее.