Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 514063

Найдите все значения а, при каждом из которых система

 система выражений левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс 36 плюс 6x плюс 12y правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс 2y плюс 2 правая круглая скобка =0,y плюс 3=ax минус a. конец системы .

имеет хотя бы одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что x в квадрате плюс y в квадрате плюс 2y плюс 2=x в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 больше или равно 1, причем равенство возможно только при x=0, y= минус 1. Они подходят во второе уравнение только при a= минус 2. Итак, при a= минус 2 решение есть. Во всех прочих случаях логарифм определен и не равен нулю, поэтому систему можно упростить.

 левая фигурная скобка \beginaligned  новая строка x в квадрате плюс 6x плюс левая круглая скобка y плюс 6 правая круглая скобка в квадрате =0, новая строка y плюс 3=ax минус a. \endaligned. левая круглая скобка 2 правая круглая скобка

Значит, должно быть решение у уравнения x в квадрате плюс 6x плюс левая круглая скобка ax минус a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =0. Для этого его дискриминант должен быть неотрицателен.

 левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x в квадрате плюс x левая круглая скобка 6 минус 2a в квадрате плюс 6a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате =0.

Вычислим дискриминант (сразу поделив на 4):

 левая круглая скобка a в квадрате минус 3a минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус 6a плюс 9 правая круглая скобка больше или равно 0,

 минус 7a в квадрате плюс 24a больше или равно 0,

a принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая фигурная скобка минус 2 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .

 

Примечание. Можно также решить систему (2) графически. Первое уравнение задает окружность  левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 6 правая круглая скобка в квадрате =9, второе  — прямую, проходящую через точку  левая круглая скобка 1; минус 3 правая круглая скобка с переменным угловым коэффициентом.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 153.
Классификатор алгебры: Системы с параметром
Спрятать решение · ·
Дарима Цыбикова 09.02.2017 17:46

Если решать графически, то можно сказать, что первое уравнение исходной системы задает окружность, о которой вы говорите, и точку (0;-1). Мне кажется - так красивее.