Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
имеет ровно четыре решения.
Преобразуем первое уравнение системы:
Таким образом, исходная система равносильна системе
При 
вторая система полученной совокупности не имеет решений, а значит, общих решений у первой и второй систем нет. Следовательно, число решений исходной системы равно числу решений первой системы, сложенному с числом решений второй системы. Далее, число решений первой системы определяется числом корней уравнения 
а число решений второй системы — числом корней уравнения 
Рассмотрим эти уравнения.
Выразим а из уравнения 
(⁎):
Исследуем функцию 
и построим ее график. Найдём производную:
Определим точку минимума и значение в ней: 
Наклонная асимптота: 
вертикальная асимптота: 
Эскиз графика представлен на рисунке. Получаем, что уравнение (⁎) имеет три корня при 
два корня при 
и один корень при 
Выразим а из уравнения 
(⁎⁎):
Исследуем функцию 
и построим ее график. Найдём производную:
Определим точку минимума и значение в ней: 
Наклонная асимптота: вертикальная асимптота: Эскиз графика представлен на рисунке. Получаем, что уравнение (⁎⁎) имеет три корня при 
два корня при 
и один корень при 
Сравним 
и 
для этого рассмотрим разность:
значит, 
Тогда исходная система имеет:
— шесть решений при
— пять решений при 
— четыре решения при 
— три решения при 
— два решения при
Таким образом, система имеет ровно четыре решения при 
Ответ: 