ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521386 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$система выражений y минус ax=a плюс 5,xy в квадрате минус x в квадрате y минус 2xy плюс 4x минус 4y плюс 8=0 конец системы .$

имеет ровно два решения.

Спрятать решение

Решение.

18) Перепишем второе уравнение системы в виде $левая круглая скобка xy минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус x минус 2 правая круглая скобка =0.$ Подставляя $y=ax плюс a плюс 5,$ имеем

$левая круглая скобка ax в квадрате плюс ax плюс 5x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка ax плюс a минус x плюс 3 правая круглая скобка =0.$ Возможны следующие ситуации, потенциально дающие ровно два корня (зная x мы одноначно восстановим y).

1)   $a=0$ (в первой скобке не квадратный трехчлен от x). $x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ; x=3$ подходит.

2)   $a=1$ (у второй скобки нет корней). $x в квадрате плюс 6x минус 4=0$ имеет два корня, подходит.

3)   $D=0$ (у скобок по одному корню). $левая круглая скобка a плюс 5 правая круглая скобка в квадрате плюс 16a=0,$ $a= минус 1,a= минус 25.$ Они подходят (см. случай 4).

4)   $D больше 0,$ один из корней первой скобки равен $дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 1 минус a конец дроби$ (совпадает с корнем второй). Тогда

$a левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0.$

Имеем: $5a в квадрате минус 10a минус 11=0,$ $a= дробь: числитель: 5\pm 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$ Поскольку эти a не совпадают с полученными в пункте $3,$ то при них (и при тех, которые получены в пункте 3) действительно по два корня.

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка 0,\pm 1, минус 25, дробь: числитель: 5\pm 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 204

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь