При каких значениях параметра a система
имеет единственное решение?
Заметим, что
причем равенство возможно только при 
а при таких x равенство выполняется.
Аналогично 
причем равенство возможно только при 
а при таких y равенство выполняется.
Значит, левая часть первого уравнения всегда не меньше двух и равна двум только в случае когда 
При произвольном a эти условия задают на координатной плоскости квадрат со стороной 1.
Второе уравнение системы задает два луча, исходящие из точки 
задаваемые уравнениями 
Очевидно, что единственное решение система может иметь только если один из лучей проходит через одну из вершин квадрата, а второй не имеет с квадратом общих точек.
Поскольку для любой точки квадрата 
все такие квадраты лежат ниже прямой 
(а на этой прямой лежит их верхняя правая вершина). Она пересекает график второго уравнения при 
и 
Значит, при 
будет единственное решение. Затем луч
пересекает квадрат по отрезку до момента, когда левая нижняя вершина попадет на этот луч. То есть при условии, что 
Однако при таком a квадрат уже пересекает второй луч.
И это продолжается до тех пор, пока левая верхняя вершина квадрата не окажется на луче 
Это произойдет, когда 
После этого квадрат окажется ниже линии 
и решений не станет.
Ответ: 
или 