ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 649382 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка x плюс 2 y минус a минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка = 0, левая круглая скобка x плюс 2 y минус a минус 6 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 6 y минус y в квадрате минус x в квадрате конец аргумента = 0 конец системы .$

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Исходная система равносильна совокупности:

$совокупность выражений система выражений x плюс 2 y минус a минус 6=0, 6 y минус y в квадрате минус x в квадрате больше или равно 0, конец системы . система выражений y в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате =0, 6 y минус y в квадрате минус x в квадрате =0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений y= минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3, x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 3 в квадрате , конец системы . левая круглая скобка 1 правая круглая скобка система выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате = a в квадрате , x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате =3 в квадрате . конец системы . левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец совокупности .$

Изобразим графики полученных систем уравнений и неравенства в одной системе координат. Решением неравенства является круг $\omega$ радиуса 3 с центром в точке $левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка$ (см. рис.) Определим, при каких значениях параметра системы совместно имеют ровно два решения.

Рассмотрим систему (1). Прямая $y= минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3$ может иметь одну общую точку с кругом $\omega$ (при $a=a_1$ или $a=a_2$ ), может не иметь общих точек с кругом $\omega$ (при $a меньше a_1$ или $a больше a_2$ ) или может иметь бесконечно много общих точек с кругом $\omega$ при $a_1 меньше a меньше a_2.$ Определим, какие значения параметра соответствуют касанию окружности и прямой. Расстояние от точки $левая круглая скобка 3; 0 правая круглая скобка$ до прямой $x плюс 2 y минус a минус 6=0$ должно равняться $R=3:$

$дробь: числитель: |1 умножить на 0 плюс 2 умножить на 3 минус a минус 6|, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 2 в квадрате конец аргумента конец дроби =3 равносильно | минус a|=3 корень из 5 равносильно a= \pm 3 корень из 5$

Таким образом, $a_1= минус 3 корень из 5 ,$ $a_2= 3 корень из 5 .$

Рассмотрим систему (2). Окружность, задаваемая первым уравнением, может иметь с окружностью $\omega,$ задаваемой вторым уравнением, 0, 1 или 2 общие точки. Определим, какие значения параметра соответствуют касанию двух окружностей.

Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 находим, что расстояние между центрами окружностей равно 5. Значит, у окружности $\omega_1$ радиус $|a|$ равен 2, откуда $a= \pm 2,$ а у окружности $\omega_3$ радиус $|a|$ равен 8, откуда $a= \pm 8.$ Таким образом, система (2):

  — не имеет решений при $a меньше минус 8,$ $минус 2 меньше a меньше 2$ и при $a больше 8;$

  — имеет одно решение при $a=\pm 2$ и при $a=\pm 8;$

  — имеет два решения при $минус 8 меньше a меньше минус 2$ и при $2 меньше a меньше 8.$

Сведём результаты в таблицу.

Значение параметра	Количество решений системы (1)	Количество решений системы (2)
$a меньше минус 8$	0	0
$a= минус 8$	0	1
$минус 8 меньше a меньше минус 3 корень из 5$	0	2
$a= минус 3 корень из 5$	1	2
$минус 3 корень из 5 меньше a меньше 3 корень из 5$	бесконечное число решений	...
$a=3 корень из 5$	1	2
$3 корень из 5 меньше a меньше 8$	0	2
$a=8$	0	1
$a больше 8$	0	0

Выясним, не является ли решение системы (1) при $a= \pm 3 корень из 5$ решением системы (2). Найдём решение системы (1) при $a= \pm 3 корень из 5$   — координаты точек A и B:

$система выражений минус дробь: числитель: x}2 плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3=2x плюс 3, y=2x плюс 3 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: a, знаменатель: 5 конец дроби , y= дробь: числитель: {, знаменатель: 2 конец дроби a, знаменатель: 5 конец дроби плюс 3. конец системы .$

Тогда при $a=3 корень из 5$ получаем точку $A левая круглая скобка дробь: числитель: 3 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 6 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби плюс 3 правая круглая скобка ,$ а при $a= минус 3 корень из 5$ получаем точку $B левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби ; минус дробь: числитель: 6 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби плюс 3 правая круглая скобка .$ Подставим найденные решения в первое уравнение системы (2):

$левая круглая скобка дробь: числитель: 3 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 6 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 3 корень из 5 правая круглая скобка в квадрате$   — неверно,

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 корень из 5 , знаменатель: 10 конец дроби минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка минус 3 корень из 5 правая круглая скобка в квадрате$   — неверно.

Значит, при $a= \pm 3 корень из 5$ решение системы (1) не является решением системы (2), и при этих значениях параметра исходная система имеет три решения. Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $минус 8 меньше a меньше минус 3 корень из 5$ или при $3 корень из 5 меньше a меньше 8 .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 8; минус 3 корень из 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3 корень из 5 ; 8 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 445

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь