Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Решение 1. Если поменять местами x и y, бывшие решением системы, то снова получится решение системы, поэтому все решения (кроме тех, где 
) разбиваются на пары, и их четное количество. Поэтому если мы хотим ровно три решения, то одно из них должно иметь 
Тогда из первого уравнения 
Заметим далее, что если поменять знаки у x, y, a, то все уравнения снова будут выполнены. Поэтому будем считать, что именно пара 
является решением системы, а при выписывании в ответ не забудем взять a с противоположными знаками.
Второе уравнение тогда превращается в 
то есть 
или 
Разберем теперь эти случаи.
Случай 1. Тогда 
и второе уравнение дает 
то есть 
или 
Второе, очевидно, невозможно.
Если же 
то из первого уравнения имеем 
Итак, в этом случае система имеет единственное решение, что нас не устраивает.
Случай 2. 
То есть 
Поскольку 
минимум одно из чисел больше чем ?1. Будем считать, что это x (иначе поменяем x и y местами, это возможно, как мы уже обсуждали).
Тогда возможны следующие варианты:
1) 
Как уже выяснялось, это уравнение в сочетании с первым дает лишь ответ (1, 1).
2) 
при этом 
то есть 
Из первого уравнения 
то есть 
Это не подходит.
3) 
Нас устраивает только 
При этом 
поэтому на самом деле это не решение системы.
4) 
при этом 
то есть 
Из первого уравнения 
Это дает еще два ответа.
Итого при у системы 3 решения, что нас устраивает.
Ответ: 