Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 527242
i

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 25 минус 6x плюс 7y пра­вая круг­лая скоб­ка ,y плюс 2= левая круг­лая скоб­ка x минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс a плюс 2x конец си­сте­мы .

имеет ровно два ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вое урав­не­ние можно за­пи­сать в виде

8 левая круг­лая скоб­ка 3 минус x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка =25 минус 6x плюс 7y,

то есть y=2x плюс 1. При этом нужно, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие 3 минус x плюс y боль­ше 0 (иначе ло­га­рифм не опре­де­лен). Вы­ра­же­ние 25 минус 6x плюс 7y по­лу­чит­ся по­ло­жи­тель­ным ав­то­ма­ти­че­ски, по­сколь­ку при ин­те­ре­су­ю­щих нас x,y про­сто от­ли­ча­ет­ся от 3 минус x плюс y в во­семь раз. Итак, 3 минус x плюс 2x плюс 1 боль­ше 0, x боль­ше минус 4.

Под­став­ляя вы­ра­же­ние для y во вто­рое урав­не­ние, по­лу­чим:

2x плюс 1 плюс 2= левая круг­лая скоб­ка x минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс a плюс 2x рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =3 минус a.

Зна­чит, во-пер­вых 3 минус a боль­ше 0, a мень­ше 3, а во-вто­рых 2a\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус a конец ар­гу­мен­та боль­ше минус 4. До­ста­точ­но чтобы 2a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус a конец ар­гу­мен­та боль­ше минус 4, то есть 2a плюс 4 боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус a конец ар­гу­мен­та . При a мень­ше или равно минус 2 это точно не­вер­но, а при a боль­ше минус 2 можно воз­ве­сти в квад­рат, по­сколь­ку обе части не­ра­вен­ства по­ло­жи­тель­ны. Имеем:

4a в квад­ра­те плюс 16a плюс 16 боль­ше 3 минус a рав­но­силь­но 4a в квад­ра­те плюс 17a плюс 13 боль­ше 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4a плюс 13 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Учи­ты­вая усло­вия a боль­ше минус 2 и a мень­ше 3 по­лу­ча­ем окон­ча­тель­но a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
По­лу­чен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом вер­ное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.3
Обос­но­ва­но най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.2
Ре­ше­ние со­дер­жит:

− или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия за­да­чи;

− или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из пе­ре­мен­ных.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 246
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром