Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 521833
i

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те минус 2ax плюс 2ay\leqslant0,x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 6ax плюс 8ay мень­ше или равно 1 минус 10a конец си­сте­мы .

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если изоб­ра­зить на плос­ко­сти точки, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых под­хо­дят в пер­вое урав­не­ние, то по­лу­чит­ся фи­гу­ра, за­дан­ная не­ра­вен­ством левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 2a в квад­ра­те . Это либо внут­рен­ность круга с цен­тром в точке левая круг­лая скоб­ка a, минус a пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом |a| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , либо точка левая круг­лая скоб­ка 0;0 пра­вая круг­лая скоб­ка при a=0.

 

Ана­ло­гич­но, вто­рое не­ра­вен­ство можно за­пи­сать в виде левая круг­лая скоб­ка x плюс 3a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 4a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 5a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . Это либо внут­рен­ность круга с цен­тром в точке левая круг­лая скоб­ка минус 3a, минус 4a пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом |5a минус 1|, либо точка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка при a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Чтобы си­сте­ма имела един­ствен­ное ре­ше­ние, нужно либо чтобы круги ка­са­лись внеш­ним об­ра­зом (то есть рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми было равно сумме ра­ди­у­сов), либо точка, изоб­ра­жа­ю­щая ре­ше­ния од­но­го не­ра­вен­ства, ле­жа­ла в круге, изоб­ра­жа­ю­щем дру­гое.

 

В пер­вом слу­чае ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16a в квад­ра­те плюс 9a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =|5a минус 1| плюс |a| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та

5|a|=|5a минус 1| плюс |a| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та

Ясно что при a мень­ше 0 имеем 5|a| мень­ше |5a минус 1|, Зна­чит, a боль­ше или равно 0.

5a=|5a минус 1| плюс a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та

При a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби по­лу­ча­ем a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , оно под­хо­дит.

 

При 0 мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби по­лу­ча­ем a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , оно под­хо­дит.

 

Во вто­ром слу­чае точка левая круг­лая скоб­ка 0;0 пра­вая круг­лая скоб­ка под­хо­дит при a=0 во вто­рое не­ра­вен­ство, а точка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка не под­хо­дит при a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби в пер­вое не­ра­вен­ство.

 

Ответ: a=0;a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
По­лу­чен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом вер­ное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.3
Обос­но­ва­но най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.2
Ре­ше­ние со­дер­жит:

− или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия за­да­чи;

− или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из пе­ре­мен­ных.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 236
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025