Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 531026
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3x в квад­ра­те плюс x минус a мень­ше или равно 0, новая стро­ка 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 6a мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы .

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 3x в квад­ра­те плюс x минус a мень­ше или равно 0, 3x в квад­ра­те минус 2x плюс 6a мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше или равно 3x в квад­ра­те плюс x,a мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x. конец си­сте­мы .

Решим си­сте­му гра­фи­че­ски в ко­ор­ди­на­тах xOa. Ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства будут все точки па­ра­бо­лы a= 3x в квад­ра­те плюс x и все точки плос­ко­сти, ле­жа­щие выше этой па­ра­бо­лы. Ре­ше­ни­ем вто­ро­го не­ра­вен­ства будут все точки па­ра­бо­лы a= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x и все точки плос­ко­сти, ле­жа­щие ниже этой па­ра­бо­лы.

 

Па­ра­бо­ла 1

a= 3x в квад­ра­те плюс x  — ветви вверх;
вер­ши­на: x_0= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ;a левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 12.		Па­ра­бо­ла 2
a= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x  — ветви вниз;
вер­ши­на: x_0= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Найдём точки пе­ре­се­че­ния па­ра­бол:

3x в квад­ра­те плюс x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x рав­но­силь­но 21x в квад­ра­те плюс 4x=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x= минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: конец дроби 21. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: конец дроби 21 мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: конец дроби 24= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . А также, что a левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. Схе­ма­тич­но изоб­ра­зим па­ра­бо­лы и ре­ше­ние си­сте­мы (на ри­сун­ке вы­де­ле­но зелёным цве­том):

Един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­ма имеет при a= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 12 или a=0. До­пол­ни­тель­но от­ме­тим, что при a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 12 или a боль­ше 0 си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, а при минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 12 мень­ше a мень­ше 0 си­сте­ма имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 12;0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 297
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025