ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 527559 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс y=3a,a плюс 2x в кубе =y в кубе плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в кубе конец системы .$

имеет не более двух решений.

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение дает $ax плюс y=a,$ второе  — $y в кубе плюс ax в кубе =a.$ Выразим из первого уравнения y и подставим во второе. Полученное уравнение на x должно будет иметь не более двух решений (поскольку по каждому x будет однозначно определяться y). Имеем: $левая круглая скобка a минус ax правая круглая скобка в кубе плюс ax в кубе =a.$ Очевидно $x=1$ подходит. Попробуем выделить множитель $1 минус x$ :

$a в кубе левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка =a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в квадрате правая круглая скобка равносильно a в кубе левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка =a левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в квадрате правая круглая скобка \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$ $a в кубе левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка =a левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в квадрате правая круглая скобка равносильно$
$равносильно a в кубе левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка =a левая круглая скобка 1 плюс x плюс x в квадрате правая круглая скобка \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$

$\underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно a в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка =1 плюс x плюс x в квадрате равносильно левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка =0.$ $\underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно a в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка =1 плюс x плюс x в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка =0.$

В (*) если $a=0,$ можно взять любое x и корней бесконечно много. Если нет  — поделим на a

Это уравнение должно иметь либо менее двух корней, либо два корня, один из которых равен 1. Разберем случаи.

Если $a=\pm 1$ и уравнение не квадратное, то оно примет вид $минус 3x=0,$ имеет корень $x=0$ и поэтому такие a подходят.

Если $x=1$ подходит в уравнение, то

$a в квадрате минус 1 минус левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка плюс a в квадрате минус 1=0,$ $минус 3=0,$ невозможно.

Если дискриминант меньше нуля, то

$левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате =12a в квадрате минус 3 меньше 0,$

откуда $a в квадрате меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ (напомним, что $a не равно 0 правая круглая скобка .$

Если дискриминант равен нулю, то

откуда $a в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ $a=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Итак, ответ $a принадлежит левая фигурная скобка \pm 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 269

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь