Пер­вое усло­вие за­да­чи за­да­ет в плос­ко­сти (xy) окруж­ность с цен­тром в точке (a; 2a − 2). Опре­де­лим­ся, где будут рас­по­ла­гать­ся цен­тры этих окруж­но­стей. По­сколь­ку 2a − 2 будет за­ви­сеть от па­ра­мет­ра a ли­ней­но, оче­вид­но, они (цен­тры) будут рас­по­ло­же­ны на не­ко­то­рой пря­мой. Най­дем ее урав­не­ние. Оно (урав­не­ние) будет иметь вид y  =  kx + b. Вы­чис­лим зна­че­ния k и b. Если a  =  0, то 2a − 2  =  ka + b, т. е. −2  =  b; если же, к при­ме­ру, a  =  5, то 10 − 2  =  5k + b. Те­перь решим си­сте­му:

Таким об­ра­зом, цен­тры окруж­но­стей, за­да­ва­е­мых пер­вым усло­ви­ем за­да­чи при­над­ле­жат пря­мой y  =  2x − 2 (*)

Гра­фик урав­не­ния y  =  |x| (это  — объ­еди­не­ние бис­сек­трис пер­во­го и вто­ро­го ко­ор­ди­нат­ных углов) делит плос­кость на две об­ла­сти. Не­ра­вен­ству y ≥ |x| будут удо­вле­тво­рять толь­ко те точки плос­ко­сти, ко­то­рые при­над­ле­жат все точки, при­над­ле­жа­щие ло­ма­ной y  =  |x| и об­ласть, ко­то­рой при­над­ле­жит точка (0; 1).

Каж­дое сла­га­е­мое левой части урав­не­ния не­от­ри­ца­тель­но. Тогда долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие:

Сле­до­ва­тель­но, при 1 < a < 4 си­сте­ма ре­ше­ний не имеет.

Ис­сле­ду­ем при­год­ность зна­че­ний а, рав­ных 1 или 4. При этих зна­че­ни­ях а окруж­ность вы­рож­да­ет­ся в точку, так как a² − 5a + 4  =  0.

Если то Это ра­вен­ство вы­пол­ни­мо толь­ко при од­но­вре­мен­ном вы­пол­не­нии двух усло­вий: x  =  1 и y  =  0. Но при этом не­ра­вен­ство y ≥ |x| не вы­пол­ня­ет­ся.

Если a  =  4, то

По­сколь­ку пара (4; 6) удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству y≥ |x|, a  =  4  — одно из ис­ко­мых зна­че­ний па­ра­мет­ра. Не­ра­вен­ство y ≥ |x| не до­пус­ка­ет от­ри­ца­тель­ных зна­че­ний пе­ре­мен­ной у, зна­чит, ин­те­ре­су­ю­щие нас пары (x; у)  — точки (x; у) плос­ко­сти не могут на­хо­дить­ся ниже ло­ма­ной y  =  |x|. Но они не могут на­хо­дить­ся и выше ло­ма­ной y  =  |x|, в про­тив­ном слу­чае по­лу­чим бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы. Таким об­ра­зом, в даль­ней­шем нас будут ин­те­ре­со­вать толь­ко лишь пары (x; у), удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию x  =  у. В то же время нас будут ин­те­ре­со­вать толь­ко лишь ка­са­ние за­дан­ной окруж­но­сти с ло­ма­ной y  =  |x|. Ясно, что цен­тры окруж­но­стей при этом будет рас­по­ло­же­ны ниже рас­смат­ри­ва­е­мой ло­ма­ной. Рас­смот­рим слу­чай, когда x  =  у  =  0. (При этом центр окруж­но­сти будут иметь ко­ор­ди­на­ты 0 и −2 со­от­вет­ствен­но). В этом слу­чае, как не­труд­но за­ме­тить, окруж­ность и ло­ма­ная будут иметь лишь одну общую точку. По­лу­чим:

Таким об­ра­зом, зна­че­ние a  =  0 есть ис­ко­мое. Можно удо­сто­ве­рить­ся, что не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ис­сле­ду­ем пер­вое усло­вие си­сте­мы при y  =  x, x≥ 0.

Мы по­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но x − a. По­тре­бу­ем, чтоб его чет­верть дис­кри­ми­нан­та была равна нулю.

Итак, мы по­лу­чи­ли два зна­че­ния па­ра­мет­ра а. Но это  — всего лишь не­об­хо­ди­мое усло­вие един­ствен­но­сти ре­ше­ния сме­шан­ной си­сте­мы. Про­ве­рим их при­год­ность. Най­дем ко­ор­ди­на­ты цен­тра со­от­вет­ству­ю­щей окруж­но­сти при :

Ока­за­лось, что ор­ди­на­та цен­тра со­от­вет­ству­ю­щей окруж­но­сти выше пра­во­го звена ло­ма­ной, что не­воз­мож­но. Вывод: зна­че­ние не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

При :

Ор­ди­на­та цен­тра окруж­но­сти ниже пра­во­го звена ло­ма­ной. Зна­че­ние есть ис­ко­мое. Рас­смот­ре­ние слу­ча­ев при x < 0 смыс­ла не имеет. Дело в том, что по­сколь­ку наи­мень­шее рас­сто­я­ние от любой точки пря­мой y  =  2x − 2, на ко­то­рой лежат цен­тры со­от­вет­ству­ю­щих окруж­но­стей, до на­ча­ла ко­ор­ди­нат будет ми­ни­маль­ным. При уве­ли­че­нии этого рас­сто­я­ния окруж­ность будет пе­ре­се­кать как левое, так и пра­вое зве­нья ло­ма­ной, един­ствен­но­сти ре­ше­ния си­сте­мы не будет.

Таким об­ра­зом, пред­ло­жен­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при

Ответ: