ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521697 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a при каждом из которых система

$система выражений 1 минус корень из: начало аргумента: |x минус 1| конец аргумента = корень из: начало аргумента: |y| конец аргумента ,49y в квадрате плюс x в квадрате плюс 4a=2x минус 1 конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента =z, 7|y|=t.$ Тогда каждому неотрицательному решению системы

$система выражений z плюс t=1,z в степени 4 плюс t в степени 4 плюс 4a=0 конец системы .$

соответствуют либо четыре, либо два, либо одно решение. Если z или t равны нулю, то два, а если оба  — то одно.

Заметим далее, что если $z не равно t$ и они не равны нулю, то можно еще поменять местами z и t и получить 8 решений.

Значит либо одно из них равно нулю, тогда другое единице и $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ либо они равны друг другу (и тогда равны $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ ) и $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби .$ Осталось убедиться, что в этих случаях других неотрицательных решений система не имеет.

При $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ имеем

$система выражений z плюс t=1,z в степени 4 плюс t в степени 4 =1 конец системы .$

Очевидно есть решения $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 1;0 правая круглая скобка ,$ дающие по два решения системы. Других нет, поскольку возводя первое уравнение в четвертую степень и вычитая второе, находим $zt левая круглая скобка 4t в квадрате плюс 4z в квадрате плюс 6tz правая круглая скобка =0,$ что для неотрицательных чисел возможно только при $zt=0.$

При $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 32$ имеем

$система выражений z плюс t=1,z в степени 4 плюс t в степени 4 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби конец системы .$

Очевидно есть решение $левая круглая скобка 0,5;0,5 правая круглая скобка ,$ дающее четыре решения системы. Других нет, поскольку выразив из первого уравнения z и подставив во второе, получим

$левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка в степени 4 плюс t в степени 4 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно 16t в степени 4 минус 32t в кубе плюс 48t в квадрате минус 32t плюс 7=0 равносильно левая круглая скобка 4t в квадрате минус 4t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 4t плюс 7 правая круглая скобка =0$ $левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка в степени 4 плюс t в степени 4 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно 16t в степени 4 минус 32t в кубе плюс 48t в квадрате минус 32t плюс 7=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 4t в квадрате минус 4t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 4t плюс 7 правая круглая скобка =0$ $левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка в степени 4 плюс t в степени 4 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно 16t в степени 4 минус 32t в кубе плюс 48t в квадрате минус 32t плюс 7=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 4t в квадрате минус 4t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 4t плюс 7 правая круглая скобка =0$

Первая скобка имеет корень $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ а вторая корней не имеет.

Ответ: $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 227

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь