Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Поскольку 
то и 
поэтому 
Значит, первое уравнение примет вид:
Заметим далее, что если числа x и y подходят в систему, то и числа x и 
тоже подходят. Поэтому все решения разбиваются на пары, кроме тех, в которых 
— они пары к самим себе. Значит, количество решений четно, если только среди решений нет такой пары. Поэтому в нашем случае она есть. Если 
то первое уравнение принимает вид
Тогда 
или 
откуда 
Осталось проверить, верно ли, что в каждом из этих случаев кроме решения с есть еще ровно одна пара решений, то есть ровно одно решение, в котором y положительно (или еще два решения с но это невозможно — все решения с возникают при разных a). Разберем случаи.
1. Имеем 
Тогда:
и 
Если 
получаем уравнение:
откуда или 
(невозможно).
Если 
получаем уравнение:
поэтому 
Второе возможное y отрицательно и мы получаем ровно три корня.
2. Имеем 
Тогда:
и 
Если получаем уравнение:
откуда или 
Это уже три решения.
Если получаем уравнение:
поэтому 
(это решение уже учтено) или 
3. Имеем 
Тогда:
и 
Если получаем уравнение:
откуда 
или
Если получаем уравнение:
поэтому (это решение уже учтено) или 
Итого ровно три корня.
4. Имеем Тогда:
и 
Если получаем уравнение:
— нет корней.
Если получаем уравнение:
поэтому 
и это единственное решение.
Ответ: 
