Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 18 и 8. Каж­дая бо­ко­вая грань пи­ра­ми­ды на­кло­не­на к ос­но­ва­нию под углом 60°.

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка О (центр впи­сан­ной сферы), оди­на­ко­во уда­лен­ная ото всех гра­ней пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти дан­ной пи­ра­ми­ды.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ре­ше­ние.

В Доме пра­ви­тель­ства 18 эта­жей. На каж­дом этаже, кроме пер­во­го, на­хо­дит­ся ми­ни­стер­ство. Од­на­ж­ды утром все 17 ми­ни­стров зашли в лифт, ко­то­рый может сде­лать толь­ко один рейс, а даль­ше каж­дый ми­нистр дол­жен идти до сво­е­го этажа пеш­ком по лест­ни­це. Из­вест­но, что каж­дый ми­нистр с не­удо­воль­стви­ем опус­ка­ет­ся на один этаж вниз по лест­ни­це и с двой­ным не­удо­воль­стви­ем под­ни­ма­ет­ся на один этаж вверх по лест­ни­це. На каком этаже им сле­ду­ет оста­но­вить лифт, чтобы сумма всех не­удо­воль­ствий была наи­мень­шей?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ние.

Рас­смат­ри­ва­ют­ся 10‐знач­ные на­ту­раль­ные числа (все де­сять цифр в их за­пи­си раз­лич­ны). Среди таких чисел най­ди­те:

а)  какое‐либо число, де­ля­ще­е­ся на 11;

б)  наи­боль­шее число, де­ля­ще­е­ся на 11;

в)  наи­мень­шее число, де­ля­ще­е­ся на 11.

(На­ту­раль­ное число де­лит­ся на 11, если зна­ко­че­ре­ду­ю­ща­я­ся сумма его цифр де­лит­ся на 11. На­при­мер, число 61938085 де­лит­ся на 11, так как 6 − 1 + 9 − 3 + 8 − 0 + 8 − 5  =  22.)