ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 506084 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: x|x| конец аргумента плюс |y| минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка |x| плюс 3|y| минус 9 правая круглая скобка =0, левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =25 конец системы .$

имеет ровно три решения?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что если пара чисел $левая круглая скобка x,y правая круглая скобка$ является решением системы, то и пара чисел $левая круглая скобка x, минус y правая круглая скобка$ тоже. Так что почти все решения системы разбиваются на пары. Поэтому для получения нечетного количества решений нужно, чтобы в одном из решений было $y=0.$ Тогда первое уравнение сводится к $левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: x|x| конец аргумента минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка |x| минус 9 правая круглая скобка =0,$ откуда $x=1$ или $x=9.$ Тогда либо $левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате =25,$ либо $левая круглая скобка 9 минус a правая круглая скобка в квадрате =25,$ то есть $a принадлежит левая фигурная скобка минус 4,4,6,14 правая фигурная скобка .$

В каждом из этих случаев уже есть одно решение с $y=0$ и других нет. Поэтому требуется наличие еще ровно одного решения с положительным y. Заметим также, что x неотрицательно, иначе $корень из: начало аргумента: x|x| конец аргумента }$ не определен.

Это позволяет упростить первое уравнение $левая круглая скобка 3x плюс y минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3y минус 9 правая круглая скобка =0.$ Выражая y, получим $y=3 минус 3x$ или $y= дробь: числитель: 9 минус x, знаменатель: 3 конец дроби .$

Теперь разберем все полученные случаи для a.

$a= минус 4;x в квадрате плюс 8x плюс y в квадрате минус 9=0.$

$x в квадрате плюс 8x плюс 9 плюс 9x в квадрате минус 18x минус 9=0,$ $x=0$ или $x=1,$ при этом $y=3$ или $y=0.$ Нашли одно подходящее новое решение $левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка .$

$x в квадрате плюс 8x плюс 9 плюс дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби минус 2x минус 9=0,$ $x=0$ или $x= минус 5,4$ (что невозможно), при этом $y=3$ (это решение уже есть).

Итак, при $a= минус 4$ есть ровно три решения $левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 1;0 правая круглая скобка ,.$

$a=4;x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате минус 9=0.$

$x в квадрате минус 8x плюс 9 минус 18x плюс 9x в квадрате минус 9=0,x=0илиx=2,6,$ при этом $y=3$ или $y меньше 0.$ Нашли одно подходящее решение $левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка .$

$x в квадрате минус 8x плюс 9 минус 2x плюс дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби минус 9=0,$ $x=0$ или $x=9,$ при этом $y=3$ или $y=0$ (эти решения уже есть)

Итак, при $a=4$ есть ровно три решения $левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 9;0 правая круглая скобка ,.$

$a=6;x в квадрате минус 12x плюс y в квадрате плюс 11=0.$

$x в квадрате минус 12x плюс 9 минус 18x плюс 9x в квадрате плюс 11=0,$ $x=1$ или $x=2,$ при этом $y=0$ или $y меньше 0.$ Новых решений нет.

$x в квадрате минус 12x плюс 9 минус 2x плюс дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс 11=0,$ $10x в квадрате минус 114x плюс 180=0,$ имеет два корня, один из которых меньше 9. Это дает еще 2 решения.

Итак, при $a=6$ есть ровно три решения.

$a=14;x в квадрате минус 28x плюс y в квадрате плюс 171=0.$

$x в квадрате минус 28x плюс 9 минус 18x плюс 9x в квадрате плюс 171=0, 10x в квадрате минус 46x плюс 180=0,$ корней нет.

$x в квадрате минус 28x плюс 9 минус 2x плюс дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс 171=0,10x в квадрате минус 270x плюс 1620=0, , x=18,x=9,$ $x в квадрате минус 28x плюс 9 минус 2x плюс дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс 171=$
$=0,10x в квадрате минус 270x плюс 1620=0, , x=18,x=9,$

имеет два корня,один из которых больше 9. Новых решений нет.

Итак, при $a=14$ есть ровно одно решение $левая круглая скобка 9;0 правая круглая скобка .$

Ответ: $a=\pm 4, a=6.$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Примечание: на рисунке приведем графическую иллюстрацию решения.

Синяя замкнутая ломаная − график первого уравнения.

Окружности − графики второго при разных значениях параметра $a.$

Зелёная − при $a= минус 4.$

Красная − при $a=4.$

Фиолетовая − при $a=6.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 4*

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь