ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 508164 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$система выражений новая строка x в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате , новая строка xy левая круглая скобка 2x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка =1 конец системы .$

имеет решение.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим первое уравнение системы. Сделаем следующую замену.

Пусть $x=a косинус t,y=a синус t,a не равно 0,0 меньше или равно t меньше или равно 2 Пи .$ Тогда оно (первое уравнение) примет вид:

$a в квадрате косинус в квадрате t плюс a в квадрате синус в квадрате t=a в квадрате равносильно косинус в квадрате t плюс синус в квадрате t=1,$

что верно для любого $t принадлежит левая квадратная скобка 0;2 Пи правая квадратная скобка .$

Теперь рассмотрим второе уравнение.

$a в квадрате синус t умножить на косинус t умножить на левая круглая скобка 2a в квадрате косинус в квадрате t минус a в квадрате правая круглая скобка =1 равносильно 2a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус t умножить на косинус t умножить на левая круглая скобка 2 косинус в квадрате t минус 1 правая круглая скобка =2 равносильно a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2t левая круглая скобка 1 плюс косинус 2t минус 1 правая круглая скобка =2 равносильно$ $a в квадрате синус t умножить на косинус t умножить на левая круглая скобка 2a в квадрате косинус в квадрате t минус a в квадрате правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус t умножить на косинус t умножить на левая круглая скобка 2 косинус в квадрате t минус 1 правая круглая скобка =2 равносильно a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2t левая круглая скобка 1 плюс косинус 2t минус 1 правая круглая скобка =2 равносильно$ $a в квадрате синус t умножить на косинус t умножить на левая круглая скобка 2a в квадрате косинус в квадрате t минус a в квадрате правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус t умножить на косинус t умножить на левая круглая скобка 2 косинус в квадрате t минус 1 правая круглая скобка =2 равносильно$
$равносильно a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2t левая круглая скобка 1 плюс косинус 2t минус 1 правая круглая скобка =2 равносильно$

$равносильно 2a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 2t умножить на косинус 2t=4 равносильно a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка синус 4t=4 равносильно |a|= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень 4 степени из: начало аргумента: синус 4t конец аргумента конец дроби .$

Заметим, что при этом должно выполняться условие: $0 меньше синус 4t меньше или равно 1.$ Следовательно, $\left| a | больше или равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ т. е. $a меньше или равно минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ или $a больше или равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 97

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь