Будем ис­хо­дить из таких гео­мет­ри­че­ских со­об­ра­же­ний. В плос­ко­сти (xy) урав­не­ния

за­да­ют пря­мые. Если каж­дое из этих урав­не­ний раз­ре­шить от­но­си­тель­но у, то по­лу­чим:

Уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты этих пря­мых сви­де­тель­ству­ют, что среди них нет ни одной пары, па­рал­лель­ных друг другу. Каж­дая из них будет де­лить плос­кость (xy) на две по­лу­плос­ко­сти, и лишь одна из них будет удо­вле­тво­рять со­от­вет­ству­ю­ще­му не­ра­вен­ству. Пе­ре­се­че­ни­ем таких при­год­ных по­лу­плос­ко­стей будет не­ко­то­рый тре­уголь­ник. Най­дем ко­ор­ди­на­ты вер­шин этого тре­уголь­ни­ка.

Итак,

Чет­вер­тое усло­вие ис­ход­ной си­сте­мы за­да­ет урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом, рав­ным Си­сте­ма будет иметь не­пу­стое ре­ше­ние, если най­дет­ся хотя бы одна общая точка этой окруж­но­сти и части плос­ко­сти, от­се­ка­е­мой от нее тре­уголь­ни­ком ABC.

Ис­хо­дя из гео­мет­ри­че­ских со­об­ра­же­ний (см. рис.), сде­ла­ем вывод: па­ра­метр а будет при­ни­мать все зна­че­ния из чис­ло­во­го от­рез­ка, левый конец ко­то­ро­го будет равен квад­ра­ту длины от­рез­ка OD, а пра­вый конец  — квад­ра­ту длины OB. (OD ⊥ OC).

Ясно, что

Тре­уголь­ник AOC ока­зал­ся рав­но­бед­рен­ным. От­сю­да:

Итак, имеем:

Ответ:

За­ме­ча­ния:

1.  При ре­ше­нии си­стем двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми не­об­хо­ди­мо­сти в ис­поль­зо­ва­нии опре­де­ли­те­лей вто­ро­го по­ряд­ка нет. Ре­ше­ния могут най­де­ны дру­ги­ми ме­то­да­ми, из­вест­ны­ми с 8 клас­са. Опре­де­ли­те­ли как вто­ро­го, так и тре­тье­го по­ряд­ка в учеб­ни­ке М. И. Ша­бу­ни­на и А. А. Про­ко­фье­ва име­ют­ся.

2.  При на­хож­де­нии длины от­рез­ка OD можно было бы ис­поль­зо­вать и усло­вие пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти двух век­то­ров, в част­но­сти, век­то­ра и век­то­ра обо­зна­чив ко­ор­ди­на­ты точки D ка­ки­ми-либо бук­ва­ми.