ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521429 Добавить в вариант

При каких значениях параметра система уравнений имеет единственное решение?

$система выражений 9y= левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 9 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате ,y= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: |x|, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка . конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Из второго уравнения сразу следует, что $x больше 0$ и $y=1.$ Тогда уравнение $9= левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 9 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате$ должно иметь единственный положительный корень. Раскрывая скобки, получим $9x в квадрате минус 18ax плюс 10a в квадрате минус 2a минус 8=0$

Случай 1. Один из корней уравнения равен 0. Тогда $10a в квадрате минус 2a минус 8=0,$ $a=1, a= минус 0,8.$ При $a=1$ второй корень равен 2, при $a= минус 0,8$ второй корень равен $минус 1,6.$ Нам годится только $a=1$

Случай 2. У уравнения корни совпадают. Тогда его дискриминант равен нулю, то есть $324a в квадрате минус 36 левая круглая скобка 10a в квадрате минус 2a минус 8 правая круглая скобка =0,$ $a в квадрате минус 2a минус 8=0,$ $a= минус 2,$ $a=4.$ В первом случае единствнный корень $x= минус 2;$ во втором $x=4.$ Нам годится только $a=4.$

Случай 3. У уравнения 2 корня разных знаков. Для этого нужно, чтобы дискриминант был положителен $левая круглая скобка a принадлежит левая круглая скобка минус 2;4 правая круглая скобка правая круглая скобка$ и произведение корней отрицательно ( $a принадлежит левая круглая скобка минус 0,8;1 правая круглая скобка$ ). Нас устроит $a принадлежит левая круглая скобка минус 0,8;1 правая круглая скобка .$

Окончательно $левая круглая скобка минус 0,8;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 4 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 209

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь