Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 521422

Найдите все значения параметра b, при которых система  система выражений x= минус |b минус y в квадрате |,y=a левая круглая скобка x плюс b в квадрате правая круглая скобка конец системы . имеет решение при любом значении параметра а.

Спрятать решение

Решение.

Нужно чтобы уравнение y=a левая круглая скобка b в квадрате минус |b минус y в квадрате | правая круглая скобка имело решение при любом a. То есть чтобы функция f левая круглая скобка y правая круглая скобка = дробь: числитель: y, знаменатель: b в квадрате минус |b минус y в квадрате | конец дроби принимала все значения. (если знаменатель равен 0, то y=0, это может пригодиться лишь при a=0. Сразу запомним, что при a=0 решение точно есть, поэтому значение 0 можно не принимать). Можно ограничиться положительными (или отрицательными) значениями, поскольку функция нечетна. Заметим также, что при yarrow \pm бесконечность имеем f левая круглая скобка y правая круглая скобка arrow 0, поэтому при достаточно больших |y| она по модулю не превосходит 1. Если она непрерывна, то на конечном промежутке, где |y| еще недостаточно велико, она принимает наибольшее значение. Значит, она не сможет принимать все значения. Поэтому непрерывной ей быть нельзя и знаменатель должен иметь корни.

 

Разберем несколько случаев.

 

1) b меньше или равно 0.  дробь: числитель: y, знаменатель: b в квадрате плюс b минус y в квадрате конец дроби . Если b принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка , то знаменатель всегда отрицателен и не имеет корней.

 

При b= минус 1 или b=0 имеем f левая круглая скобка y правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби . Она принимает все значения, кроме 0, поэтому подходит.

 

Если же b меньше минус 1, то знаменатель имеет корни, по разные стороны от которых он имеет разный знак. Тем самым функция меняется от 0 до минус бесконечности при y от 0 до  корень из b в квадрате плюс b и от бесконечности до нуля при y от  корень из b в квадрате плюс b до бесконечности. На этих промежутках функция непрерывна, поэтому принимает и все промежуточные значения. Это нам подходит.

 

2) b больше 0. Тогда f левая круглая скобка y правая круглая скобка = дробь: числитель: y, знаменатель: b в квадрате минус b плюс y в квадрате конец дроби при y принадлежит левая квадратная скобка 0; корень из b правая квадратная скобка и f левая круглая скобка y правая круглая скобка = дробь: числитель: y, знаменатель: b в квадрате плюс b минус y в квадрате конец дроби при y больше корень из b. Тогда на втором промежутке функция всюду отрицательна и принимает значения отминус бесконечности до нуля. По непрерывности она принимает их все.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 208.
Классификатор алгебры: Системы с параметром