ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521704 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение

$a левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка |x| плюс 2 правая круглая скобка минус a минус 3 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка |x| плюс 2 правая круглая скобка минус a плюс 2 конец аргумента =0$

имеет ровно два различных корня

Спрятать решение

Решение.

Ясно что при $a=0$ корней бесконечно много.

Заменим $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка |x| плюс 2 правая круглая скобка =t$ и отметим сразу, что $t больше или равно 1,$ причем для $t=1$ получается одно значение x, а для больших t  — два. Уравнение примет вид

$левая круглая скобка 2t минус a минус 3 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: t минус a плюс 2 конец аргумента =0.$ Его корнями являются $t=a минус 2$ и $t= дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби$ если $дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби больше a минус 2,$ то есть при $a меньше 7.$ Получаем следующие варианты

$a меньше минус 1$   — нет корней

$a= минус 1$   — есть единственный корень $t=1,$ один корень у изначального уравнения

$минус 1 меньше a меньше 3$   — есть единственный корень $t= дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ два корня у изначального уравнения.

$a=3$   — есть два корня $t=1; t= дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ три корня у изначального уравнения.

$3 меньше a меньше 7$   — есть два корня $t=a минус 2; t= дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ четыре корня у изначального уравнения.

$a=7$   — есть один корень $t=5,$ два корня у изначального уравнения.

$a больше 7$   — есть один корень $t=a минус 2,$ два корня у изначального уравнения.

Ответ: $левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 7; бесконечность правая круглая скобка$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 228

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь