ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 527368 Добавить в вариант

При каких значениях параметра a система

имеет единственное решение?

Спрятать решение

Решение.

Отметим сразу, что

$|x минус a| плюс |a плюс 1 минус x| больше или равно x минус a плюс a плюс 1 минус x=1,$

причем равенство возможно только когда оба выражения под модулем неотрицательны, то есть $x принадлежит левая квадратная скобка a;a плюс 1 правая квадратная скобка .$ Аналогично,

$|y минус a| плюс |a плюс 1 минус y| больше или равно 1.$

Поэтому сумма этих модулей может быть равна двум только если в обоих неравенствах достигается равенство. Итак, $x,y принадлежит левая квадратная скобка a,a плюс 1 правая квадратная скобка .$ Точки с такими координатами заполняют на координатной плоскости квадрат со стороной 1 и вершинами в $левая круглая скобка a;a правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка a;a плюс 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка a плюс 1;a правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка a плюс 1;a плюс 1 правая круглая скобка .$ Точки, координаты которых удовлетворяют второму уравнению, лежат на лучах $y=6\pm 2 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка ,$ то есть удовлетворяют либо условию $y=16 минус 2x$ при $x больше или равно 5,$ либо условию $y=2x минус 4$ при $x меньше или равно 5.$ Полученная «галочка» может иметь с квадратом одно пересечение, только если она проходит через его вершину, либо если ее вершина $левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка$ лежит на контуре квадрата. Выясним, когда это происходит.

Точка $левая круглая скобка a плюс 1;a правая круглая скобка$ удовлетворяет условию $y=2x минус 4$ при $a=2.$

Точка $левая круглая скобка a;a плюс 1 правая круглая скобка$ удовлетворяет условию $y=2x минус 4$ при $a=5$ (не подходит, другой луч пересекает квадрат).

Остальные две вершины если и лежат на данном луче, не будут единственными точками  — луч будет проходить внутри квадрата.

Точка $левая круглая скобка a;a правая круглая скобка$ удовлетворяет условию $y=16 минус 2x$ при $a= дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .$

Точка $левая круглая скобка a плюс 1;a плюс 1 правая круглая скобка$ удовлетворяет условию $y=16 минус 2x$ при $a= дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби$ (не подходит, другой луч пересекает квадрат).

Остальные две вершины если и лежат на данном луче, не будут единственными точками  — луч будет проходить внутри квадрата. Наконец, если $левая круглая скобка 5;6 правая круглая скобка$ лежит на верхней стороне квадрата, то луч $y=16 минус 2x$ его пересекают, а если на нижней  — то $a=6,$ но $5\not принадлежит левая квадратная скобка 6;7 правая квадратная скобка ,$ поэтому такой случай невозможен.

Ответ: $a= дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби$ или $a=2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 255

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь