ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505910 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

$система выражений корень из: начало аргумента: y плюс a конец аргумента =2x минус x в квадрате ,y плюс x в квадрате =2x плюс a в квадрате . конец системы .$

имеет ровно 4 различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену $корень из: начало аргумента: y плюс a конец аргумента =t.$ Очевидно, каждому y соответствует ровно одно t, и каждому неотрицательному t соответствует ровно одно значение y, а именно $y=t в квадрате минус a.$ Поэтому нас будет интересовать количество решений системы

$левая фигурная скобка \beginaligned t=2x минус x в квадрате ,t в квадрате минус a минус a в квадрате =2x минус x в квадрате \endaligned.$

при неотрицательных t.

Заметим, что функция $t=2x минус x в квадрате$ принимает по два раза значения на промежутке $левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка ,$ один раз принимает значение 1 и не принимает других неотрицательных значений.

Поэтому нужно, чтобы нашлось два различных $t принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка$ для решений этой системы (каждому из них мы потом сопоставим два различных значения x. Иными словами, уравнение $t в квадрате минус t минус a минус a в квадрате =0$ имеет два корня на $левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка .$ Его корни  — $минус a$ и $a плюс 1,$ они оба попадают на нужный промежуток при $a принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка .$ При $a= минус 0,5$ эти корни равны. Таким образом, получаем ответ.

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус 1; минус 0,5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 0,5;0 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 11

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь