Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 511902
i

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний 

си­сте­ма вы­ра­же­ний x левая круг­лая скоб­ка xy минус x в квад­ра­те плюс 6x минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка =y левая круг­лая скоб­ка 2x плюс y плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ,4 левая круг­лая скоб­ка y минус ax пра­вая круг­лая скоб­ка =3 левая круг­лая скоб­ка 4a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы .

имеет ровно два ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем каж­дое из урав­не­ний си­сте­мы.

а)  ##

x в квад­ра­те y минус x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка =y в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка y рав­но­силь­но y в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка y плюс x левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но y в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка y плюс левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но y в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка y плюс левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но y в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка y плюс левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

В со­от­вет­ствии с тео­ре­мой Виета: со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка y=x в квад­ра­те минус 3x , новая стро­ка y=x минус 3 . конец со­во­куп­но­сти .

б)  ##

4y минус 4ax=12a минус 9 рав­но­силь­но 4y=4ax плюс 12a минус 9 рав­но­силь­но y=ax плюс 3a минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Те­перь за­дан­ную си­сте­му за­пи­шем так:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка y минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка y минус левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0 , новая стро­ка y=ax плюс 3a минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец си­сте­мы .

Она (си­сте­ма) будет рав­но­силь­на со­во­куп­но­сти двух си­стем:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка y=x в квад­ра­те минус 3x , новая стро­ка y=ax плюс 3a минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец си­сте­мы . левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка y=x минус 3 , новая стро­ка y=ax плюс 3a минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец си­сте­мы . левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

 

Рас­смот­рим си­сте­му (1). При этом:

x в квад­ра­те минус 3x=ax плюс 3a минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 3 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 3a плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0.

 

Это урав­не­ние будет иметь ре­ше­ния, если его дис­кри­ми­нант будет не­от­ри­ца­тель­ным.

D=9 плюс 6a плюс a в квад­ра­те плюс 12a минус 9=a в квад­ра­те плюс 18a=a левая круг­лая скоб­ка a плюс 18 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Си­сте­ма (1) будет иметь ровно одно ре­ше­ние при a= минус 18 или при a=0. Она же будет иметь ровно два ре­ше­ния при

a левая круг­лая скоб­ка a плюс 18 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка a мень­ше минус 18 , новая стро­ка a боль­ше 0 . конец со­во­куп­но­сти .

При минус 18 мень­ше a мень­ше 0 си­сте­ма (1) ре­ше­ний не будет иметь. Те­перь рас­смот­рим си­сте­му (2).

Пе­ре­пи­шем ее так:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x минус y=3 , новая стро­ка ax минус y= минус 3a плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец си­сте­мы .

Най­дем ее глав­ный опре­де­ли­тель

\Delta =\left| \beginalign новая стро­ка 1 минус 1 , новая стро­ка a минус 1 \endalign |= минус 1 плюс a=a минус 1.

Вы­чис­лим ее вспо­мо­га­тель­ные опре­де­ли­те­ли:

\Delta _x=\left| \beginalign новая стро­ка 3 минус 1 , новая стро­ка минус 3a плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 1 \endalign |= минус 3 минус 3a плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус 3a минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;\Delta _y=
=\left| \beginalign новая стро­ка 1 3 , новая стро­ка a минус 3a плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \endalign |= минус 3a плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 3a= минус 6a плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

x= минус дробь: чис­ли­тель: 3a плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби ; y= минус дробь: чис­ли­тель: 6a минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби .

При a=1 си­сте­ма либо не имеет ре­ше­ний, либо имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний. Слу­чай бес­чис­лен­но­го мно­же­ства ре­ше­ний ис­клю­ча­ет­ся, так как для того чтобы си­сте­ма (2) имела бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний, кроме усло­вия a=1, по­тре­бу­ет­ся вы­пол­не­ние ра­вен­ства минус 3=3a минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Од­на­ко оно не вы­пол­ни­мо, так как

минус 3 не равно 3 минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби не равно 6.

Сле­до­ва­тель­но, при a=1 си­сте­ма (2) ре­ше­ний не имеет. При любых дру­гих зна­че­ни­ях а си­сте­ма (2) будет иметь ровно одно ре­ше­ние. За­ме­тим, что си­сте­мы (1) и (2) также могут иметь сов­па­да­ю­щие ре­ше­ния. Най­дем их, если они име­ют­ся. Решим урав­не­ние x в квад­ра­те минус 3x=x минус 3.

x левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x=3 , новая стро­ка x=1 конец со­во­куп­но­сти . .

 

y|_x=3=0; y|_x=1= минус 2.

 

При x=3,y=0: 3a плюс 3a минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0 рав­но­силь­но 2a= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но a= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

При x=1,y= минус 2: a плюс 3a минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус 2 рав­но­силь­но 4a= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 2 рав­но­силь­но 4a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Итак, при a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби или a= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби си­сте­мы (1) и (2), сле­до­ва­тель­но, и ис­ход­ная си­сте­ма имеют ровно два ре­ше­ния: (3; 0) и (1; –2). Обоб­щим наши ис­сле­до­ва­ния и для боль­шей на­гляд­но­сти дан­ные за­не­сем в таб­ли­цу:

 

Зна­че­ния па­ра­мет­ра aСи­сте­ма (1) имеет:Си­сте­ма (2) имеет:
левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 18 пра­вая круг­лая скоб­ка ровно 2 ре­ше­нияровно 1 ре­ше­ние
левая фи­гур­ная скоб­ка минус 18 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ровно 1 ре­ше­ниеровно 1 ре­ше­ние
левая круг­лая скоб­ка минус 18;0 пра­вая круг­лая скоб­ка ре­ше­ний нетровно 1 ре­ше­ние
0ровно 1 ре­ше­ниеровно 1 ре­ше­ние
левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ровно 2 ре­ше­нияровно 1 ре­ше­ние
левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ровно 2 ре­ше­ния (тож­де­ствен­ное их сов­па­де­ние)
левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ровно 2 ре­ше­нияровно 1 ре­ше­ние
левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ровно 2 ре­ше­ния (тож­де­ствен­ное их сов­па­де­ние)
левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка ровно 2 ре­ше­нияровно 1 ре­ше­ние
1ровно 2 ре­ше­нияре­ше­ний нет
(1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ровно 2 ре­ше­нияровно 1 ре­ше­ние

 

Ответ: минус 18;0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ;1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025