ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521452 Добавить в вариант

Найдите все а, при каждом из которых система $система выражений x в квадрате плюс xy минус 4x минус 2y плюс 4=0,ax в квадрате минус y=4 конец системы .$ имеет ровно два решения.

Спрятать решение

Решение.

Выразим из второго уравнения $y=ax в квадрате минус 4$ и подставим в первое. Число решений системы будет равно числу решений полученного уравнения.

$x в квадрате плюс xy минус 4x минус 2y плюс 4=0$

$x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка =0$

$левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс ax в квадрате минус 6 правая круглая скобка =0$

Это уравнение должно иметь два корня, причем $x=2$ является его корнем. Возможны следующие три случая.

1)   $a=0,$ тогда корнем второй скобки будет $x=6.$

2)   $D=1 плюс 24a=0,$ $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби ,$ тогда корни второй скобки равны между собой и равны $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2a конец дроби =12.$

3)   $x=2$ является одним из корней второй скобки. Тогда $4a плюс 2 минус 6=0,$ $a=1,$ второй корень уравнения $x в квадрате плюс x минус 6=0$ равен $минус 3.$

Ответ: $a=0;a=1;a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 212

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь