ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 514586 Добавить в вариант

Найдите все a, при каждом из которых система

$система выражений 3x в квадрате плюс 3y в квадрате минус 10xy минус 12x плюс 12y плюс 9\leqslant0,6 минус 3x=ax в квадрате ,y минус 3=ax конец системы .$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Умножая последнее уравнение на $минус x$ и складывая его со вторым, получим $xy=6.$ С учетом этого первое неравенство можно переписать в виде $x в квадрате плюс y в квадрате минус 4x плюс 4y минус 17 меньше или равно 0$ или $левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 25.$

Отметим на координатной плоскости точки, удовлетворяющие этим условиям. Это точки гиперболы $xy=6,$ лежащие в круге радиуса 5 с центром в точке $левая круглая скобка 2, минус 2 правая круглая скобка .$ Нарисовав этот круг и гиперболу, мы увидим, что они имеют 4 точки пересечения $левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 6;1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 6 правая круглая скобка$ (координаты легко угадываются).

Уравнение $y=ax плюс 3$ задает прямую, проходящую через точку $левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка$ с переменным угловым коэффициентом. Эта прямая проходит через точки пересечения окружности и гиперболы при $a=0,$ $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $a=9$ соответственно.

Найдём при каких значениях a прямая $y=ax плюс 3$ касается гиперболы.

$дробь: числитель: 6, знаменатель: x конец дроби =ax плюс 3 равносильно ax в квадрате плюс 3x минус 6=0$   Случай касания соответствует дискриминанту равному нулю: $D=9 плюс 24a=0,$ $a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .$

Прямая $y=ax плюс 3$ пересекает дуги гиперболы, лежащие в круге, при $a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; 9 правая квадратная скобка ,$ но при $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка$ точек пересечения будет две, что не подходит.

Единственность точки пересечения со второй ветвью гиперболы очевидна из картинки.

Таким образом, система имеет единственное решение при $a принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; 9 правая квадратная скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; 9 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 158

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь