1. Тип Д8 C1 № 505640 
Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке
Решение. а)
б) Выборка корней. Будем искать строго положительные корни.
Из серии 
При 
при 
Дальнейшие поиски корней из данной серии смысла не имеют.
Из серии 
При 
(неравенство очевидное).
При 
(неравенство очевидное).
При 
Дальнейшие поиски корней из данной серии смысла не имеют.
Итак, 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505640
а) б)
б) 
решений не имеет.
Очевидно, что 
и 
задают корни, расположенные в первой четверти. Из них в промежутке 
окажутся лишь два корня: 
и 
имеет смысл, если выполнены следующие условия: 
Но в нашем случае по определению логарифма также должно выполняться условие 
Следовательно, для нахождения ограничений на x достаточно проверить выполнение двух условий: 
и 
А проверку выполнения второго неравенства отложим до завершающего этапа наших исследований. 
следовательно, нам предстоит решить только уравнение 
Его решения известны: 
для каждой из полученных серий решений. 
— серия посторонних корней.
то
решений не имеет, кроме того, 
Значит, остается единственное уравнение 
надобности нет, так как выполнение этого условия обеспечит другое неравенство, а именно 
Отсюда ясно, что условие 
и 
б) 
(I и IV четверти). При этих значениях 
(I четверть). Тогда 
а также:
(IV четверть). Тогда 
а также:
б) 
б) 
Следовательно, такие же ограничения следует наложить и на левую его часть. То есть 
Но тогда левая часть уравнения равна 
а исходное уравнение принимает вид 
и 
совпадут. Для этого найдем их значения, принадлежащие промежутку 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
Заметим, что 
то есть. выражение стоящее под первым знаком логарифма положительно при всех действительных значениях переменной 
то есть, уравнение имеет смысл при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству 
Для таких x будем иметь:
невыполнимо ни при каких 
Однако, равенство 
не относится к числу разрешенных значений 
принадлежат лишь два корня заданного уравнения: 
б) 
по определению логарифма (ведь это будет главным «инструментом» при решении данного уравнения), поэтому при нахождении ограничений на x нам пока что достаточно иметь в виду всего лишь систему 
попадает лишь один корень: 
б) 
решений не имеет. 
б) 
искомых решений не будет, мы будем искать их на отрезке 
с помощью единичной окружности.
б) 
Б) 
Б) 
для чего достаточно доказать неравенство 
откуда:
А это значит, что 
б) 1.
Получим 
поэтому на указанном отрезке лежит только 
б) 
Уравнение примет вид 
откуда 
или 
Уравнение 
дает 
что невозможно. Уравнение 
дает 
откуда 
Поскольку 
б) 
уравнение примет вид 
откуда 
или 
Уравнение 
дает 
Уравнение 
дает 
и корней не имеет.
— положительное число, при этом 
Докажем это. Возведем в шестую степень:
он не лежит на заданном отрезке.
б) 
и выполним преобразования: 
или 
Уравнение 
решений не имеет.
только 
лежит на нужном промежутке.
б) 
тогда:
б) 
тогда 
Исходное уравнение принимает вид 
(модуль можно опустить, поскольку 
). Далее имеем: 
откуда 
или 
б) 
получаем уравнение 
откуда 
или 
откуда 
то есть 
или 
откуда 
то есть 
б) 
б) 
б) 
либо 
то есть 
(но тогда котангенс не определен), либо 
Кроме того, 
должен быть отрицательным, поэтому годится только 
б) 
при 
Ясно, что второй при таких x всегда дает 
Поэтому и первый должен давать −1. Остаются 
получается число на нужном отрезке, а прибавляя или вычитая 
мы сразу вылетим с отрезка длины 2. 
б) 
Тогда 
либо 
все корни меньше 
при 
все корни больше 
Подставляя 
получим корни 
Все они подходят.
б) 
получим 
лежит корень 
б) 
при условиях 
Получим 
и изначальное уравнение не определено. Во втором случае 
б) 
и 
лежат в нужном промежутке. Но если изменить их на 
или больше, они перестанут лежать в промежутке, поскольку его длина равна трем.
б) 
получим:
и изначальное уравнение не определено. Во втором случае получаем 
или 
б) 
имеем:
и 
не больше 
и не равны ей одновременно. Далее, 
после возведения в квадрат дает 
откуда 
Перебирая такие точки на круге и проверяя их в уравнении 
находим 
или 
где 
и 
подходит только 
б) 
где [a] — целая часть числа а, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее а; {a} — дробная часть числа а, т. е. {a} = а – [a].
Тогда уравнение примет вид 
Возводя в квадрат, получаем 
Значит, либо 
и 
либо 
и x — натуральное число (0 уже выбран, а отрицательным x быть не может).
б)
и обозначим 
Получим: 
на круге получаются 4 точки, которые можно записать одной формулой: 
где 
б) 
возьмем 
и 
получим:
б) 
сведем уравнение к уравнению 
решив которой находим: 
откуда:
получаем, что наибольший отрицательный корень уравения равен 
и возведем в квадрат:
тогда 
нам подходит только 
поэтому 
Либо 
тогда 
и это нам подходит, тогда 
Деля на 
получаем окончательный ответ: 
б) 
а поскольку 
то и 
При таких x преобразуем уравнение:
б) 
— корень уравнения.
имеем 
поэтому 
и сравнить числа 
и 
и 
и 
и 
и 
Поэтому 
а первое сравнение используется как доказательство неравенства 
б) 7.
При других значениях k правая часть уравнения по модулю больше 1. Поэтому уравнение равносильно совокупности 
с помощью тригонометрической окружности. Получим четыре числа 
взятые в указанном порядке, являются последовательными членами арифметической прогрессии?
тогда: 
Далее, 
после возведения в квадрат дает 
откуда 
Перебирая такие точки на круге и проверяя их в уравнении 
находим: 
или 
получаем числа 0, 0, 0 — не является возрастающей прогрессией. Имеем:
Упростим выражение в правой части:
и 
то 
Тогда 
б) 
тогда уравнение примет вид 
поэтому из каждой серии корней в данный отрезок попадает не более одного корня. Данный отрезок на тригонометрической окружности попадает во вторую, третью и часть четвертой четверти. Первая серия корней соответствует точке в первой четверти, поэтому на данном отрезке корней не имеет. Вторая серия корней соответствует точке во второй четверти поэтому на данном отрезке даёт один корень. Это 
либо 
Тогда 
или 
был положителен. Значит, k четное, 
Тогда 
б)
отберём с помощью тригонометрической окружности. Получим число:
тогда 
с помощью тригонометрической окружности.
(второе семейство ответов не удовлетворяет условию 
), второе дает 
б) 
и эти неравенства не обращаются в равенства одновременно. Значит, 
то есть 
б) 
тогда получим: 
или 
Вторая серия невозможна, а первая дает 
значения попадают на нужный промежуток. Других нет, поскольку промежуток представляет на окружности как раз один оборот (а 
не подходит в уравнение). Получим: 
б) 
б) 
Тогда 
откуда 
б) 
откуда 
или 
б) 
Получим уравнение 
откуда 
Поэтому 
или 
б) 
и тогда уравнение преобразуется к виду 
откуда 
то есть 
Учитывая ограничения, получаем ответ 
б) 
то 
Нам подходит только второй набор.
то 
Нам подходит только второй набор.
то 
б) 
имеем 
то есть 
Значит, 
или 
то есть 
или 
на указанном отрезке лежит только 
б) 0.
является корнем. При прочих x получим, поделив на 
(отрицательным x быть не может).
б) Нет решений.
Первый вариант невозможен.
б) 
или 
(что невозможно),
б) 
можно, поскольку в уравнении изначально был 
Поскольку длина промежутка равна 
он не может содержать более одной точки из набора с шагом 
б) 
б) 
то есть 
Имеем:
поэтому 
Все они при приведении к общему знаменателю будут иметь знаменатель кратный 
Для удобства отбора из остальных домножим все на 4. Тогда нужно обирать так, чтобы 
лежали на 
Очевидно можно взять 
или 
б) 
б) 
и обозначим 
Имеем:
первый корень меньше двойки. Кроме того, 
б) 
:
:
не лежит на нужном отрезке, а 
б) 
б) нет корней.
б) 
должно быть положительно, иначе логарифм не определен. Значит, 
и 
поэтому подходит только 
и 
б) 
б) 
то есть 
и 
имеют одинаковые знаки. При этом 
поэтому 
б) 
получаем два варианта. При 
имеем 
имеем 
имеем
Следует обратить внимание на то, что промежуток имеет длину больше 
и занимает поэтому больше целого оборота на круге.
б) 
и 
преобразуем уравнение:
удовлетворяет только серия 
лежит ровно одна точка из этого набора (или две, если это концы промежутка). Поэтому на данном отрезке решением является только 
б) 
при условии 
Имеем:
б) 
и 
(последнее верно, 
не получилось). Далее:
дают положительные значения синуса.
дают отрицательные значения синуса.
Следует обратить внимание на то, что промежуток имеет длину больше 
синус неположителен и эту часть можно не рассматривать.
б) 
откуда получаем 
Тогда 
Заметим, что 
следовательно, 
а 
Поэтому в ОДЗ лежат числа 
б) 
0, 
б) 
:
при помощи единичной окружности. Получаем 
б) 
На этой области произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
лежат числа 
б) 
разделим на t, получим:
принадлежит только число 1.
б) 1.
а при таких значениях переменной справедливо неравенство 
Тогда 
Преобразуем левую часть уравнения при этом ограничении:
удовлетворяют числа 
при 
откуда k = 1. Найденному значению параметра соответствует 
