ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 527561 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс косинус 4x правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка синус x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка синус x равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x правая круглая скобка =1 плюс 2 логарифм по основанию 2 синус x равносильно$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус в квадрате 2x минус 1 правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка синус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x правая круглая скобка =1 плюс 2 логарифм по основанию 2 синус x равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x правая круглая скобка =1 плюс 2 логарифм по основанию 2 синус x равносильно 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус в квадрате 2x правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию 2 синус в квадрате x равносильно$ $равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате 2x правая круглая скобка =1 плюс 2 логарифм по основанию 2 синус x равносильно$
$равносильно 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус в квадрате 2x правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию 2 синус в квадрате x равносильно$

$равносильно косинус в квадрате 2x= синус в квадрате x равносильно 2 косинус в квадрате 2x=2 синус в квадрате x равносильно 2 косинус в квадрате 2x=1 минус косинус 2x равносильно$

$равносильно 2 косинус в квадрате 2x плюс косинус 2x минус 1=0 равносильно левая круглая скобка 2 косинус 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус 2x= минус 1. конец совокупности .$ $равносильно 2 косинус в квадрате 2x плюс косинус 2x минус 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус 2x= минус 1. конец совокупности .$

Кроме того, $синус x больше 0$ и $1 плюс косинус 4x=2 косинус в квадрате 2x больше 0$ (последнее верно, $косинус 2x=0$ не получилось). Далее:

$совокупность выражений 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= Пи плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k. конец совокупности .$

Удобнее теперь записать шесть наборов и разбираться с ними по отдельности:

  — $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи плюс 2 Пи k,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k$ дают положительные значения синуса.

  — $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи плюс 2 Пи k,$ $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k$ дают отрицательные значения синуса.

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат

$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$ Следует обратить внимание на то, что промежуток имеет длину больше $2 Пи$ и занимает поэтому больше целого оборота на круге. Но на $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка$ синус неположителен и эту часть можно не рассматривать.

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 270

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь