Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 559269
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из 3 синус левая круг­лая скоб­ка Пи x плюс 3 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка минус тан­генс левая круг­лая скоб­ка Пи x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  При­ме­ним фор­му­лы при­ве­де­ния, по­лу­чим:

левая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус Пи x плюс \ctg Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0

Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния: D = левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . На этой об­ла­сти про­из­ве­де­ние равно нулю, если один из мно­жи­те­лей равен нулю:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус Пи x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус Пи x, зна­ме­на­тель: синус Пи x конец дроби =0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус в квад­ра­те Пи x минус ко­си­нус Пи x=0, 4 минус x в квад­ра­те = 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус в квад­ра­те Пи x плюс ко­си­нус Пи x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =0, x в квад­ра­те =3 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус Пи x= дробь: чис­ли­тель: минус 1\pm7, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус Пи x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний Пи x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2k, x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

В ОДЗ лежат числа x=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , x=\pm дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

б)  За­ме­тим, что:

минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше минус 1 мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 2.

По­это­му на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка лежат числа минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: a) левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ;\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;\pm дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 340
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025