Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 521188
i

а)  При каких зна­че­ни­ях x числа  синус 2x, 2 ко­си­нус x, 4 минус 4 синус x, взя­тые в ука­зан­ном по­ряд­ке, яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии?

б)  При каких зна­че­ни­ях x про­грес­сия яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей? Найти сумму пер­вых 70 чле­нов про­грес­сии.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По свой­ству про­грес­сии по­лу­ча­ем:

 синус 2x плюс 4 минус 4 синус x=2 умно­жить на 2 ко­си­нус x рав­но­силь­но 2 синус x ко­си­нус x плюс 4 минус 4 синус x=4 ко­си­нус x.

За­ме­ним t= синус x плюс ко­си­нус x, тогда:

t в квад­ра­те =1 плюс 2 синус x ко­си­нус x,

по­это­му имеем:

t в квад­ра­те минус 1 плюс 4=4t рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 4t плюс 3=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=3,t=1. конец со­во­куп­но­сти .

Пер­вый слу­чай не­воз­мо­жен, так как  синус x мень­ше или равно 1,  ко­си­нус x мень­ше или равно 1. Далее,  синус x плюс ко­си­нус x=1 после воз­ве­де­ния в квад­рат дает 1 плюс 2 синус x ко­си­нус x=1, от­ку­да  синус x ко­си­нус x=0. Пе­ре­би­рая такие точки на круге и про­ве­ряя их в урав­не­нии  синус x плюс ко­си­нус x=1, на­хо­дим: x=2 Пи k или x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  При x=2 Пи k по­лу­ча­ем числа 0, 2, 4  — воз­рас­та­ю­щая про­грес­сия. При x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k по­лу­ча­ем числа 0, 0, 0  — не яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей про­грес­си­ей. Имеем:

S_70= дробь: чис­ли­тель: 0 плюс 0 плюс 69 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 70=4830.

Ответ а)  левая фи­гур­ная скоб­ка 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; S_70=4830.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 186
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния