Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 526928

Дано уравнение  корень из 0,5 плюс синус в квадрате x плюс косинус 2x=1.

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Перепишем уравнение в виде

 корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус в квадрате x=1 минус косинус 2x.

Обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат. Имеем:

0,5 плюс синус в квадрате x=1 минус 2 косинус 2x плюс косинус в квадрате 2x равносильно 1 плюс 2 синус в квадрате x=2 минус 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x равносильно

 

 равносильно 2 синус в квадрате x минус 1= минус 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x равносильно минус косинус 2x= минус 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x равносильно

 

 равносильно косинус 2x левая круглая скобка 3 минус 2 косинус 2x правая круглая скобка =0.

Второй множитель не может быть равен нулю. Тогда:

 косинус 2x=0 равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби .

б) C помощью тригонометрического круга отберем корни. Подходят  минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ а)  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199.
Методы алгебры: Формулы двойного угла