Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505790
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние \log _ синус 2x левая круг­лая скоб­ка тан­генс x плюс \ctg x пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те 2

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Най­дем огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка синус 2x боль­ше 0, новая стро­ка синус 2x не равно 1, новая стро­ка ко­си­нус x не равно 0, новая стро­ка синус x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 2 Пи n мень­ше 2x мень­ше Пи плюс 2 Пи n, новая стро­ка 2x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, новая стро­ка x не равно Пи n конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка Пи n мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x не равно Пи n,n при­над­ле­жит Z . конец си­сте­мы .

Для таких x:

\log _ синус 2x левая круг­лая скоб­ка тан­генс x плюс \ctg x пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те 2 рав­но­силь­но \log _ синус 2x левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те 2 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те 2 плюс \log _ синус 2x дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: синус x умно­жить на ко­си­нус x конец дроби минус 1=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те 2 плюс \log _ синус 2x дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x умно­жить на ко­си­нус x конец дроби минус 1=0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те 2 плюс \log _ синус 2x дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x конец дроби минус 1=0

 

рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те 2 плюс \log _ синус 2x дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: синус 2x конец дроби минус 1=0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те 2 плюс \log _ синус 2x2 минус \log _ синус 2x синус 2x минус 1=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те 2 плюс \log _ синус 2x2 минус 2=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка \log _ синус 2x2=1, новая стро­ка \log _ синус 2x2= минус 2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка синус 2x=2, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те 2x конец дроби =2. конец со­во­куп­но­сти .

Урав­не­ние синус 2x=2 ре­ше­ний не имеет, кроме того, синус 2x боль­ше 0. Зна­чит, оста­ет­ся един­ствен­ное урав­не­ние синус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби :

синус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, новая стро­ка 2x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

 

За­ме­ча­ние: при на­хож­де­нии огра­ни­че­ний на x вклю­чать в си­сте­му усло­вие тан­генс x плюс \ctg x боль­ше 0 на­доб­но­сти нет, так как вы­пол­не­ние этого усло­вия обес­пе­чит дру­гое не­ра­вен­ство, а имен­но синус 2x боль­ше 0.

Дей­стви­тель­но, как было по­ка­за­но выше тан­генс x плюс \ctg x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x умно­жить на ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: синус 2x конец дроби . От­сю­да ясно, что усло­вие тан­генс x плюс \ctg x боль­ше 0 вы­пол­ня­ет­ся, как толь­ко будет вы­пол­не­но усло­вие синус 2x боль­ше 0.

б)  Ис­ко­мо­му про­ме­жут­ку при­над­ле­жат лишь два корня: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 73
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025